Stelling 30
Rechte lijnen parallel aan dezelfde rechte lijn zijn ook parallel aan elkaar.
Stel dat elk van beide rechte lijnen AB en CD parallel is aan EF.
Ik zeg dat AB ook parallel is aan CD.
Stel dat de rechte lijn GK op hen valt.
Aangezien de rechte lijn GK valt op de parallelle rechte lijnen AB en EF,
daarom is de hoek AGK gelijk aan de hoek GHF. (Stell.29)
Zo ook, aangezien de rechte lijn GK valt op de parallelle rechte lijnen EF en CD, daarom is de hoek GHF gelijk aan de hoek GKD. (Stell.29)
Maar we hebben ook bewezen dat de hoek AGK gelijk is aan de hoek GHF.
Daarom is de hoek AGK ook gelijk aan de hoek GKD (C.N.1), en ze zijn alternerend.
Daarom is AB parallel aan CD. (Stell.27)
Daarom, rechte lijnen parallel aan dezelfde rechte lijn zijn ook parallel aan elkaar.
Q.E.D.