Stelling 29

Een rechte lijn vallende op parallelle rechte lijnen maakt de alternerende hoeken gelijk aan elkaar, de buitenhoek gelijk aan de tegenoverliggende binnenhoek, en de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant gelijk aan twee rechte hoeken.

Stel dat de rechte lijn EF valt op de parallelle rechte lijnen AB en CD.
Ik zeg dat hij de hoeken AGH en GHD gelijk maakt, de buitenhoek EGB gelijk aan de tegenoverliggende binnenhoek GHD, en de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant, namelijk BGH en GHD, gelijk aan twee rechte hoeken.

Als de hoek AGH niet gelijk is aan de hoek GHD, dan is een van de twee groter. Stel dat de hoek AGH groter is.
Tel de hoek BGH bij beide op. Daarom is de som van de hoeken AGH en BGH groter dan de som van de hoeken BGH en GHD.

Maar de som van de hoeken AGH en BGH is gelijk aan twee rechte hoeken (Stell.13).
Daarom is de som van de hoeken BGH en GHD minder dan twee rechte hoeken.

Maar als rechte lijnen onbepaald worden verlengd vanuit hoeken samen minder dan twee rechte hoeken, dan snijden ze elkaar. (Post.5)
Daarom zullen AB en CD, als ze onbepaald worden verlengd, elkaar snijden.

Maar ze snijden elkaar niet, want ze zijn bij hypothese parallel.
Daarom is de hoek AGH is niet ongelijk aan de hoek GHD, en daarom gelijk.

Vervolgens, de hoek AGH is gelijk aan de hoek EGB (Stell.15).
Daarom is de hoek EGB ook gelijk aan de hoek GHD. (C.N.1)

Tel de hoek BGH bij beiden op. Daarom is de som van de hoeken EGB en BGH gelijk aan de som van de hoeken BGH en GHD. (C.N.2)
Maar de som van de hoeken EGB en BGH is gelijk aan twee rechte hoeken. (Stell.13)
Daarom is de som van de hoeken BGH en GHD ook gelijk aan twee rechte hoeken. (C.N.1)

Daarom, een rechte lijn vallende op parallelle rechte lijnen maakt de alternerende hoeken gelijk aan elkaar, de buitenhoek gelijk aan de tegenoverliggende binnenhoek, en de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant gelijk aan twee rechte hoeken.

Q.E.D.

vorige
volgende