Stelling 28
Als een rechte lijn vallende op twee rechte lijnen de buitenhoek gelijk maakt aan de tegenoverliggende binnenhoek aan dezelfde kant, of de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant gelijk aan twee rechte hoeken, dan zijn de rechte lijnen parallel aan elkaar.
Stel dat de rechte lijn EF vallende op de twee rechte lijnen AB en CD de buitenhoek
EGB gelijk maakt aan de tegenoverliggende binnenhoek GHD, of de som van de binnenhoeken aan
dezelfde kant, namelijk BGH en GHD, gelijk aan twee rechte hoeken.
Ik zeg dat AB parallel is aan CD.
Aangezien de hoek EGB gelijk is aan de hoek GHD, en de hoek EGB gelijk aan de hoek AGH (Stell.15), daarom is de hoek AGH gelijk aan de hoek GHD (C.N.1). En ze zijn alternerend, daarom is AB parallel aan CD. (Stell.27)
Vervolgens, aangezien de som van de hoeken BGH en GHD gelijk is aan twee rechte hoeken (Stell.13), en de som van de hoeken AGH en BGH ook gelijk aan twee rechte hoeken, daarom is de som van de hoeken AGH en BGH gelijk aan de som van de hoeken BGH en GHD. (C.N.1, Post.4)
Trek de hoek BGH van beide af. Daarom is de overblijvende hoek AGH gelijk aan de overblijvende hoek GHD (C.N.3). En ze zijn alternerend, daarom is AB parallel aan CD. (Stell.27)
Daarom, als een rechte lijn vallende op twee rechte lijnen de buitenhoek gelijk maakt aan de tegenoverliggende binnenhoek aan dezelfde kant, of de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant gelijk aan twee rechte hoeken, dan zijn de rechte lijnen parallel aan elkaar.
Q.E.D.