CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 19: Polariteiten


Definitie : Een polariteit is een involutorische correlatie, met andere woorden: een correlatie π waarbij π2 de identiteit is.


Opmerking : Voor een polariteit π geldt: π(X) = l ↔ π(l) = X.
Als π(X) = l heten X en l pool en poollijn.
Als het punt Y op de poollijn l van X ligt, dus π(X) = l, dan π(l) = X, en omdat π(Y) door π(l) gaat ligt X dan op de poollijn van Y.


Definitie : Twee punten heten geconjugeerd als ze op elkaars poollijn liggen, dus elk op de poollijn van de ander.
Een punt heet zelfgeconjugeerd als het op zijn eigen poollijn ligt.
Twee lijnen heten geconjugeerd als elk van beide door de pool van de ander gaat.
Een lijn heet zelfgeconjugeerd als hij door zijn eigen pool gaat.


Opmerking : De natuurlijke correlatie πo is een voorbeeld van een polariteit zonder zelfgeconjugeerde punten of lijnen (zie O75).
In de volgende paragrafen zullen we zien dat bij elke niet-ontaarde kegelsnede een polariteit hoort waarvan de punten op de kegelsnede de zelfgeconjugeerde punten zijn.


Definitie : Driehoek X1X2X3 heet pooldriehoek indien π(Xi) = XjXk voor elke permutatie i-j-k van 1-2-3. Zie O76.


Stelling : De verbindingslijn van twee zelfgeconjugeerde punten kan niet zelfgeconjugeerd zijn.

Bewijs: Stel P en Q zijn twee verschillende zelfgeconjugeerde punten op een zelfgeconjugeerde lijn l (l = π(X) en X op l).
Er geldt XP of XQ. Stel XQ.
Omdat Q op π(X) ligt, ligt X evenals Q op π(Q). Dus l = π(X) = π(Q).
Dan volgt X = Q. Tegenspraak.


Stelling : Een polariteit π induceert een involutie of de identiteit op elke lijn die niet zelfgeconjugeerd is (de paren van deze involutie zijn paren van geconjugeerde punten).

Bewijs: Zij l een niet-zelfgeconjugeerde lijn, zeg met pool L buiten l.
De restrictie van π tot l is een projectiviteit van de puntenreeks l naar de lijnenwaaier L.
Dan is θ: X → π(X).l een projectiviteit van l op l.
Is Y = θ(X), dan Y = π(X).l, dus X = π(Y).l, dus X = θ(Y). Dus θ is een involutie of de identiteit.


O75 Bestudeer nogmaals de natuurlijke correlatie in het bolmodel van O6. Zijn er zelfgeconjugeerde punten of lijnen?

O76 Bewijs dat er hoogstens één pooldriehoek is met gegeven hoekpunten X1 en X2. Onder welke omstandigheden bestaat deze?

O77 Formuleer bij elke stelling uit deze paragraaf de duale.

O78 Bewijs dat als de lijn l minstens drie zelfgeconjugeerde punten heeft alle punten op l zelfgeconjugeerd zijn.


uitwerkingen


HOME