Stelling 32

Als in enige driehoek een van de zijden wordt verlengd, dan is de buitenhoek gelijk aan de som van de twee tegenoverliggende binnenhoeken, en de som van de drie binnenhoeken van de driehoek is gelijk aan twee rechte hoeken.

Laat ABC een driehoek zijn, en verleng de zijde BC naar D.
Ik zeg dat de buitenhoek ACD gelijk is aan de som van de tegenoverliggende binnenhoeken CAB en ABC, en dat de som van de drie binnenhoeken ABC, BCA en CAB van de driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken.

Trek CE door het punt C parallel aan de rechte lijn AB. (Stell.31)

Aangezien AB parallel is aan CE, en AC op beide valt, daarom zijn de alternerende hoeken BAC en ACE gelijk aan elkaar. (Stell.29)
Vervolgens, aangezien AB parallel is aan CE, en de rechte lijn BD op beide valt, daarom is de buitenhoek ECD gelijk aan de tegeoverliggende binnenhoek ABC. (Stell.29)
Maar we hebben ook bewezen dat de hoek ACE gelijk is aan de hoek BAC.
Daarom is de hele hoek ACD gelijk aan de som van de twee tegenoverliggende binnenhoeken BAC and ABC.

Tel de hoek ACB bij beide op. Dan is de som van de hoeken ACD en ACB gelijk aan de som van de drie hoeken ABC, BCA en CAB. (C.N.2)
Maar de som van de hoeken ACD en ACB is gelijk aan twee rechte hoeken. (Stell.13) Daarom is de som van de hoeken ABC, BCA en CAB ook gelijk aan twee rechte hoeken (C.N.1)

Daarom, als in enige driehoek een van de zijden wordt verlengd, dan is de buitenhoek gelijk aan de som van de twee tegenoverliggende binnenhoeken, en de som van de drie binnenhoeken van de driehoek is gelijk aan twee rechte hoeken.

Q.E.D.

vorige