CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE


3. KROMMING


Definitie 21: Gegeven een kromme, geparametriseerd naar booglengte: x(s). Zij t(s) de raakvector, dus t(s) = x .(s).
We definiëren de kromtevector als de afgeleide van de raakvector, dus als x ..(s). Deze kromtevector staat voor iedere s loodrecht op de raakvector bij s (zie opgave 9). Men kan aan de verandering van de raakvector zien in welke richting de kromtevector wijst:

We kiezen nu voor elke s een vector n(s) (genaamd hoofdnormaalvector) met lengte 1 en met dezelfde of tegengestelde richting als x ..(s), zó dat n(s) een continu vectorveld wordt.
Let op: dit kan op twee manieren. Voor vlakke krommen geldt:
De kromtevector wordt 0 en verandert van richting in een buigpunt,

de hoofdnormaalvector blijft lengte 1 houden en aan één kant van de kromme.

Voor elke s bestaat dus een getal κ(s) zodat x ..(s) = κ(s)n(s).
κ(s) heet krommingsfunctie van de gegeven kromme. De kromming verandert van teken in een buigpunt, en de absolute waarde ervan is de lengte van de kromtevector.
We definiëren de kromtestraal R(s) als 1/κ(s) (∞ in een buigpunt), en het kromtemiddelpunt als x(s)+R(s)n(s). Deze zijn middelpunt en straal van de zogenaamde kromtecirkel, waarover straks méér. De kromtevector x ..(s) wijst steeds van het punt x(s) naar het kromtemiddelpunt.

Toelichting 22: De kromming is een maat voor de verandering van de richting van de raakvector:
Stel dat Δφ de hoek is tussen t(s) en t(s+Δs). Dan geldt:
||t(s+Δs)-t(s)|| = √((t(s+Δs)-t(s)).(t(s+Δs)-t(s))) = √(2-2t(s+Δs).t(s)) = √(2-2cos(Δφ)) = 2|sin(Δφ/2)|.
Dus |κ(s)| = ||x ..(s)|| = lim (Δs→0) 2|sin(Δφ/2)|/Δs = lim (Δs→0) Δφ/Δs.

Toelichting 23: Over de kromtecirkel.
De cirkel r(cos(t),sin(t)) wordt met behulp van de booglengte geparametriseerd als r(cos(s/r),sin(s/r)). Hieruit volgt voor de kromming κ(s) = ||x ..(s)|| = 1/r.
Zij nu x(s0) een punt van de kromme x(s). Het bijbehorend kromtemiddelpunt is m(s0) = x(s0)+R(s0)n(s0).
De kromtecirkel heeft parametrisering m(s0)+R(s0)(sin((s-s0)/R(s0))t(s0)-cos((s-s0)/R(s0))n(s0)) (= c(s)). Deze is dus gelegen in het vlak x(s0)+λt(s0)+μn(s0) (osculatie- of kusvlak, waarover later méér), gaat door x(s0) en raakt daar aan de kromme x(s), en heeft dezelfde kromming te s0 als de kromme x(s): zie de nu volgende opgave.

Opgave 24: Bewijs dat s ook booglengte is voor de cirkel c(s), en dat c(s0)=x(s0), c .(s0)=x .(s0), c ..(s0)=x ..(s0)

Hier volgen twee onbewezen stellingen over de krommingsfunctie. De tweede kan bewezen worden door het erna volgende voorbeeld 27 te generaliseren.

Stelling 25: κ(s) is bewegingsinvariant (dat wil zeggen: invariant onder starre ruimtelijke bewegingen van de kromme).

Stelling 26: Bij gegeven krommingsfunctie hoort een vlakke kromme die, tot op rotaties en translaties van deze kromme na, eenduidig bepaald is.

Voorbeeld 27: (ter illustratie van stelling 26).
Zij κ(s)=s, en zij x(s) een (nader te bepalen) vlakke kromme met deze krommingsfunctie.
Omdat ||x .(s)||=1, is x .(s)=(cos(α(s),sin(α(s)), dus κ(s)=α .(s).
Er volgt α(s)=(1/2)s2+c en x(s)=(ds cos((1/2)σ2+c) dσ, d's sin((1/2)σ2+c) dσ).
Een andere keuze van c komt neer op een rotatie van de kromme, een andere keuze van d en d' komt neer op een translatie.
Deze kromme heet klotoïde (spiraal van Cormi). Omdat 0 cos((1/2)σ2) dσ = 0 sin((1/2)σ2) dσ = (1/2)√π, ziet zij er zó uit:

Voor vlakke krommen in het x,y-vlak geldt algemeen: κ(s) is de afgeleide naar booglengte s van de hoek die de eenheidsraakvector maakt met de x-as.

Opgave 28: Bepaal de kromming van de cycloïde (zie opgaven 18 en 20) als functie van s.

Opgave 29: Bewijs dat de rechten precies de krommen met krommingsfunctie κ(s)=0 zijn.
Bewijs vervolgens dat, als de raaklijnen van een kromme door een vast punt gaan, of onderling evenwijdig zijn, deze kromme een rechte is.


uitwerkingen


HOME