uitwerkingen (gedeeltelijk)

16) x(t) = (a.cos(t),a.sin(t),bt), dus s'(t) = ||x'(t)|| = √(a²+b²), dus s = t √(a²+b²) + c (kies c=0);
x(s) = (a.cos(s/√(a²+b²)),a.sin(s/√(a²+b²)),bs/√(a²+b²)).

17) x(t) = (t,t^3/2), dus s'(t) = √(1+9t/4), dus s(t) = (8/27)(1+9t/4)^3/2 + c (kies c=-8/27), dus t = (4/9)(27s/8+1)^2/3 - 4/9.

18) x'(t) = a(1-cos(t),sin(t)), s'(t) = 2a.|sin(t/2)|, s(t) = 4a - 4a.cos(t/2) (t ∈ [0,2π]).

19) De beschrijvenden zijn λ(cos(t),sin(t),1) = λv.
De snijpunten zijn dan f(t)(cos(t),sin(t),1), en de raakvectoren t = f '(t)(cos(t),sin(t),1) + f(t)(-sin(t),cos(t),0).
Voor de hoek φ tussen raakvector en beschrijvende geldt dan cos(φ) = (v.t)/(||v|| ||t||) = 2f '(t)/(√(2f(t)²+4f '(t)²).
Als φ constant is, geldt voor een of andere constante c : (f ')² = c(f²+2(f ')²), ofwel f '/f = d. Dus f(t) = α e^βt.

20) Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel voor het differentiëren.
Omdat s'= ||x'|| = √(x'.x'), is s'' = (x',x'')/||x'|| = ||x''|| cos(φ), waarbij φ de hoek is tussen x' en x''.
Gebruik ook dat ||x'⊗x''|| = ||x'|| ||x''|| sin(φ).

28) Combineer de uitkomsten van opgaven 18 en 20, en vind κ(s) = (8as-s²)^-1/2.

29) De volgende vier uitspraken zijn gelijkwaardig (a,b,c,p,q,r zijn constanten):
i) κ(s)=0 voor alle s;
ii) x ^..(s)=0 voor alle s;
iii) x ^.(s)=(a,b,c) voor alle s;
iv) x(s)=(as+p,bs+q,cs+r) voor alle s.

Stel nu dat c een vaste vector is met x(s)+λx ^.(s)=c voor alle s.
Omdat x ^.. loodrecht staat op x ^. volgt (1+λ^.)x ^. = λx ^.. = 0.
Tenzij λ voor alle s gelijk aan 0 is, volgt dat x ^.. voor alle s gelijk aan 0 is, dus dat de kromme een rechte is.
Stel tenslotte dat het vaste punt oneigenlijk is, zeg x ^. = c voor alle s. Dan x ^.. = 0 voor alle s, dus de kromme is een rechte.

35) 3t²x - 3ty + z = t³

37) De binormaal heeft richting +(3t²,-3t,1) (zie 35));
de raakvector heeft richting +(1,2t,3t²);
de hoofdnormaal heeft dan richting + b⊗t, dus ook +(9t³-2t,1-9t⁴,6t³+3t).
Het normalenvlak heeft dus vergelijking x + 2ty + 3t²z = t+2t³+3t⁵, het rectificerend vlak (-9t³-2t)x + (1-9t⁴)y + (6t³+3t)z = ...

41) Gebruik x ' = x ^. s' , x" = x ^..(s')² + x ^. s", x ''' = x ^...(s')³ + 3x ^..s's" + x ^. s''' , en veegstellingen voor determinanten. Combineer met 20) en 40).

45) d² = α² + β² + γ² = h² - κ²h⁴/3 + κ²h⁴/4 + O(h⁵), dus
d = h√(1 - κ²h²/12 + O(h³)) = h(1 - κ²h²/24 + O(h³)).
Dus (d-h)/h³ → -κ²/24 als h→0.
De afwijking tussen d en h neemt toe als de kromming toeneemt.

47)
i) κ = a(4(b²+a²)sin(t/2))^-1, τ = b(4(b²+a²)sin(t/2))^-1;
ii) κ = 3/(25t), τ = 4/(25t);
iii) κ = τ = (1+t²+t⁴/4)^-1/6.

48) x'(t) = a*e^ct(-sin(t),cos(t),0) + ac*e^ct(cos(t),sin(t),1).
s'(t) = ||x'(t)|| = a*e^ct√(1+2c²).
s(t) = (a/c)(√(1+2c²))(e^ct-1) = B(e^ct-1), dus t=(1/c)ln(1+s/B).
Bereken nu κ(t) met 20 en τ(t) met 41, en substitueer tenslotte t=(ln(1+s/B))/c.

51) Stel x(s) is zo'n kromme. Dan bestaan een functie λ(s) (≠0) en een punt c zo dat voor alle s geldt x(s) + λ(s)n(s) = c.
Differentiëren geeft t + λ ^.n = 0, dus t(1-λκ) + λ ^.n + λτb = 0.
Er volgt τ=0, λ ^. = 0, en λ = 1/κ; dus de kromme is vlak, elk punt ligt op vaste afstand van c, en die afstand is 1/κ (κ is dus ook constant).

55) Stel α : ax₁ + bx₂ + cx₃ = d (normaal (a,b,c)).
Dan g(t) = ax₁ + bx₂ + cx₃ - d;
g(t_o)=0 betekent dat x(t_o) op α ligt;
als bovendien g'(t_o)=0, betekent dat dat ax₁'(t_o) + bx₂'(t_o) + cx₃'(t_o) = 0, dus dat x(t) in x(t_o) raakt aan α
als bovendien g''(t_o)=0, betekent dat dat ax₁''(t_o) + bx₂''(t_o) + cx₃''(t_o) = 0, dus dat (a,b,c) loodrecht staat op x'(t_o) èn x''(t_o); dan is α het osculatievlak in x(t_o).

59) Met R:=1/κ en T:=1/τ wordt de opgave: laat zien dat m = x + Rn + R^. Tb constant is als R² + R^.2 T² = c.
Dit volgt eenvoudig na differentiëren, met gebruikmaking van de formules van Serrat en Frenet.

60) De kromme m(s) = x(s) + n(s)/(2κ(s)) is een rechte indien m' en m'' overal evenredig zijn (s is geen booglengte voor m(s)).
Stel R = 1/κ. Omdat 2m' = t + R^.n en 2m'' = t(-κR^.) + n(κ + R^..), wordt de eis: R^.. + κR^.2 + κ = 0.
Dus d/ds (RR^.) + 1 = 0, dus RR^. = c-s, dus R² = 2cs-s². Dit geeft de cycloïde (zie 28).

62)
a) Het osculatievlak is b(s).(x-x(s)) = 0; voor het vaste punt c geldt dus b(s).(c-x(s)) = 0.
Differentiëren geeft b.t + b^..(x-c) =0, dus (-κt+τb).(x-c) =0, dus κt.(x-c) =0.
Dus als κ≠0 en τ≠0 dan staat x-c loodrecht op t, n en b, en dan x=c (voor alle s).
b) Zij v richtingsvector van de gegeven rechte. Dan, voor alle s, b.v=0, dus b^..v = τ n.v =0.
Als τ≠0 dan n.v=0, dus n^..v=0. Dan staat v loodrecht op b, n en -κt+τb. Omdat v niet 0 is, volgt κ =0.

63) Stel y(s) = x(s) + R(s)n(s). Dan is y' evenredig met y'', dus R^.n + R τ b is evenredig met -R^. κt + (R^..-Rτ²)n + (2R^.τ + R τ ^.)b.
Er volgt (met κ≠0) R^.=0 (voor alle s) en vervolgens τ=0.

64) Stel a = x(s) + α(s)n(s) + β(s)b(s), dus 0 = t(1-ακ) + n(α^.-τβ) + b(ατ+β^.), dus α=1/κ, β=-κ^./(κ²τ).
Dus ||x(s)-a|| = √(α²+β²) = √(κ^-2 + κ^.2κ^-4τ^-2).
Voor alle punten op de kromme x(s) is a het middelpunt van de osculerende bol.
Uit ατ+β^.=0 volgt dat de straal van de osculerende bol constant is.

65) Stel a = x(s) + α(s)n(s) + β(s)b(s).
Als in 64) volgt door differentiëren κα=1, α^.=τβ, √(α²+β² constant.
Uit cos(φ) = ((αn+βb).n)/√(α²+β²) en φ constant, volgt dan: α constant, dus κ constant, en τ=0.

66) De vergelijking van V(s) is (x-x(s)).n(s) =0, dus volgens Hesse is a(s) = |(m-x(s)).n(s)|.
Zij f(s) = r²-s² = (m-x).(m-x) - s². Dan f ^. = 2t.(x-m) - 2s, en f ^.. = 2κn.(x-m) + 2t.t - 2 = 2κn.(x-m). Dus |f ^..| = 2κa.

70) y(s) = x(s) + λn(s) (λ constant).
cos²(φ) = (x ^..y ' )²/|| y ' ||² = (1-λκ)²/((1-λκ)²+λ²τ²) is constant als τ=0, als λ=1/κ (dan φ=90 graden), als κ en τ constant zijn, en ook als τ=d(λκ-1) ≠0.

Alternatief: y ' = t(1-λκ) + λτb, en x ^. = t, dus tan(φ) = λτ/(1-λκ). Onder de genoemde voorwaarden is tan(φ) constant.

71) y(s) = x(s) + Rn(s) (R is constant).
Dus y ' = x ^. + Rn ^. = τRb en y '' = τ ^. Rb + τRb ^. = -τ²Rn + τ ^. Rb en y ''' = τ²t -3ττ ^. Rn + (τ ^.. R - τ³R)b.
|κ_nieuw| = ||y ' ⊗ y '' ||/||y ' ||³ = τ³R²/(τ³R³) = κ, κ_nieuw = -κ
(x(s) en y(s) zijn corresponderende krommen van Bertrand, hebben dezelfde hoofdnormalen maar tegengestelde kromming, en bestaan uit elkaars kromtemiddelpunten).
Bereken τ_nieuw via τ_nieuw = det(y ' ,y '' ,y ''' )/|| y ' ⊗ y '' ||².
Er volgt ττ_nieuw = κ².

72) Stel y(s) = x(s) + λ(s)n(s).
Dan y ' = t(1-λκ) + λ ^. n + λτb, en y '' = t(-2λ ^. κ - λκ ^. ) + (λ ^.. - λτ² + κ - λκ²)n + (2λ ^. τ + λτ ^. )b.
Nu moeten y ' en y '' in één vlak liggen met n en b, dus 1-λκ = 2λ ^. κ + λκ ^. = 0. Uit λκ=1 volgt λ ^. κ + λκ ^. = 0.
Dan volgt λ ^. κ = 0, en omdat κ ≠0 is dan λ ^. =0. Dus λ is constant en κ=1/λ, dus κ is ook constant.

73) Stel y(s) = x(s) + λ(s)b(s).
Eis dat b loodrecht staat op y ' en dat det(b, y ', y '' ) =0.
Omdat y ' = t - λτn + λ ^. b volgt λ ^. =0, dus λ is constant.
Dan y '' = t ^. - λτ ^. n - λτn ^. = λκτt + (κ - λτ ^. )n - λτ²b, dus det(b, y ', y '' ) = κ - λτ ^. + λ²κτ² =0.

78) φ₂(s) = φ₁(s)+c (c constant);
met λ = (κ cos(φ))^-1 volgt y = x + Rn + Rb tan(φ);
met φ = 0 volgt λ = κ^-1 en τ=0;
met τ=0 en φ=φ_o volgt y ' = λ ^. (n cos(φ) + b sin(φ)) waarbij b vast is, dus y ' maakt een vaste hoek met b.

79) Het snijpunt van het vlak z=0 met de raaklijn in (a cos(t), a sin(t), bt) aan de cirkelschroeflijn is (a cos(t) + at sin(t), a sin(t) + at cos(t), 0). Dit punt ligt op de raaklijn in (a cos(t), a sin(t), 0) aan de cirkel, en deze raaklijn staat tevens loodrecht op de snijfiguur (reken dit alles zelf na).

80) Stel dat y(t) de omhulde is. Er geldt dan y(t) = (t-sin(t),1-cos(t)) + λ(t)(-sin(t),1-cos(t)).
Omdat y '(t) evenwijdig is met (-sin(t),1-cos(t)) volgt det( (1-cos(t)-λcos(t), sin(t)+λsin(t)), (-sin(t), 1-cos(t)) ) = 0, dus (2+λ)(1-cos(t)) = 0, dus λ=-2.
Dus y(t) = (t+sin(t),-1+cos(t)). Deze kromme ontstaat uit x(t) door translatie over (-π,-2).

85) Met Serrat en Frenet volgt 0 = det(x ^.., x ^..., x ^....) = det(t ^., t ^.., t ^...) = κ³det(n , n ^., n ^..) = -κ³(κ ^.τ - κτ ^.).
Uit κ ^.τ - κτ ^. = 0 volgt κ/τ = c (c constant).

86) Met τ = a κ en κ^-2 + κ ^.2τ^-2κ^-4 = b² volgt R² + c²R²R ^.2 = b².
Dus RR ^./√(b²-R²) = a, en √(b²-R²) = -as.
Dus κ = 1/√(b²-a²s²), τ = a/√(b²-a²s²).

87) Uit 47 vinden we κ = τ. Asrichting t cos(α) + b sin(α) = (1/2)√2 (t+b).
De richting van t is (6,6t,3t²), dus t = (2,2t,t²)/√(4+4t²+t⁴).
Uit de vergelijking van het osculatievlak volgt b = (t²,-2t,2)/√(4+4t²+t⁴). Dus de asrichting is (1,0,1).

88)
a) s' = ||x ' || = √(((1/2)√3 cos(t) - 1/2)² + (-sin(t))² + ((1/2)cos(t) + (1/2)√3)²) = √2, dus s=t√2.
κ = ||x ' ⊗ x '' || / ||x ' ||³ = 1/2.
b) Matrix ((0, 0, 1), ((1/2)√3, 0, 1/2), (-1/2, 0, (1/2)√3)).

89) Willekeurige bol (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² - r² = 0, dus g(t) = (t-a)² + (t⁴-b)² + (t²-c)² - r².
Uit g(1) = g ' (1) = g '' (1) = g ''' (1) = 0 volgt a=32, b=15/2, c=-55/2, r=42.6087.

90)
a) K₁ : x(s), K₂ : y(s) = x(s) + λ(s)b(s) (s geen booglengte voor K₂).
Eis det(b, y ' , y " ) = 0. Er komt λ²κτ² = λτ ^. + 2λ ^. τ - κ.
b) Eis det(b, y ' , y ' ⊗ y ") = 0.
Er komt λτ { λτ(λτ² - λ ^.. ) - λ ^. (κ - 2 λ ^. τ - λτ ^.) } = λ ^.. - λτ² - λλ ^. κτ.
Als λ constant is komt er λ³τ⁴ = - λτ² en vervolgens τ=0 (vlakke kromme).

91)
a) s' = ||x ' || = 5, dus K₁ : (3 sin(s/5), 4s/5, 3 cos(s/5)).
b) t : ((3/5)cos(s/5), 4/5, (-3/5)sin(s/5)), n : (-sin(s/5), 0, -cos(s/5)), b : ((-4/5)cos(s/5), 3/5, (4/5)sin(s/5)).
c) x.b(t) = x(t).b(t), dus -4 cos(t) x₁ + 3 x₂ + 4 sin(t) x₃ = 12t.
d) K₂ : (-3 sin(s/5), 4s/5, -3 cos(s/5)).
e) cos(α) = t₁.t₂ = 7/25, dus α is ongeveer 74 graden.

92) K₁ : x(s), K₂ : y(s) = x(s) + λ(s)(cos(α) t(s) + sin(α) b(s)) (s geen booglengte voor K₂).
Eis 1: y ' ⊥ cos(α) t + sin(α) b.
Eis 2: y " ⊥ cos(α) t + sin(α) b.
y ' = (1 + λ ^. cos(α)) t + (λκ cos(α) - λτ sin(α)) n + (λ ^. sin(α)) b.
Met eis 1) volgt cos(α) + λ ^. = 0, dus λ = -s cos(α) + c₁, en
y ' = sin²(α)) t + (-s cos(α) + c₁)(κ cos(α) - τ sin(α)) n - sin(α)cos(α) b,
y " = (-κ t + τ b)(-s cos(α) + c₁)(κ cos(α) - τ sin(α)) + (...)n.
Met eis 2) volgt (κ cos(α) - τ sin(α)²(s cos(α) - c₁) = 0, dus τ/κ = cotg(α); dus K₁ is een schroeflijn.
(De lijnen met richtingsvector cos(α) t + sin(α) b zijn evenwijdig aan de as; als K₁ een cirkelschroeflijn is, dan is K₂ een cirkel (loodrecht op de as) op de cylinder waar K₁ op ligt.)