Oplossingen Kerstprobleem 2004


VOOR DE OPLOSSINGEN VAN DE PRIJSWINNAARS, KLIK HIER


Vind (voor n=2,3,4,5,6,7,8,9,10) een configuratie van n punten op een regelmatig viervlak ABCD zo dat de minimale afstand tussen twee van die punten zo groot mogelijk is.


MIJN EIGEN OPLOSSINGEN:

Algemeen: men kan het probleem ook formuleren in termen van disjuncte geodetische cirkels met zo groot mogelijke straal. Aangezien zo'n cirkel normaal gesproken oppervlakte pi*r2 heeft, maar slechts de helft daarvan indien het middelpunt een hoekpunt van het viervlak is, ligt het voor de hand te beginnen met een ruimtevaarder in een hoekpunt te plaatsen. Het zwaartepunt van het tegenoverliggende zijvlak ligt daar diametraal tegenover. Ik ga er verder van uit dat we minstens één piraat in een hoekpunt moeten plaatsen.
Voor de andere ruimtevaarders kijken we ook graag naar een hoekpunt, of naar het zwaartepunt van een zijvlak, maar soms is er ruimte in een ander zijvlak, en kunnen we de configuratie verbeteren door een beetje in de richting van de vrije ruimte te schuiven. We streven daarbij naar zo veel mogelijk symmetrie en gelijke afstanden in de configuraties.
Ik heb verder verkenningen uitgevoerd met een computerprogramma.

n=2
Kies D en het zwaartepunt Z van driehoek ABC. De afstand over het viervlak tussen deze twee punten is (2/3)*wortel(3) = ongeveer 1.15470054.

n=3
Kies bijvoorbeeld de hoekpunten van driehoek ABC. De afstand tussen twee punten is steeds 1.
(Bewijs van optimaliteit: We moeten eerst een hoekpunt kiezen, bijvoorbeeld A. Als we de andere twee piraten op afstand groter dan 1 van A willen zetten, komen ze beiden binnen driehoek BCD terecht, en dus op afstand kleiner dan 1 van elkaar vandaan.)

n=4
Kies de hoekpunten van het viervlak. De afstand tussen twee punten is steeds 1.

n=5
Kies D en het zwaartepunt Z van driehoek ABC, en de punten op de ribben DA, DB en DC op afstand 2/3 van D. Voor elk der vijf punten is de afstand over het viervlak tot een dichtstbijzijnd ander punt 2/3 = ongeveer 0.66666667.
(Sla de driehoeken ABD, BCD en ABD neer in het vlak van driehoek ABC. Zie bijgaande schets1.)

n=6
Kies eerst de vier hoekpunten, en de zwaartepunten in driehoeken ABC en ABD, maar schuif vervolgens de ruimtevaarders in de hoekpunten C en D iets naar elkaar toe, en de ruimtevaarders in de twee genoemde zwaartepunten iets van ribbe AB vandaan.
De minimumafstand is ongeveer 0.58986472. (Zie bijgaande schets2, daar vindt u ook de exacte oplossing.)

n=7
Kies de vier hoekpunten en drie van de vier zwaartepunten. De minimumafstand is wortel(3)/3 = ongeveer 0.57735027.
(Bewijs van optimaliteit: Kies eerst A,B,C,D en de zwaartepunten van ABD, ACD en BCD. Als we nu de piraten in deze drie zwaartepunten van D vandaan bewegen, komen ze altijd dichter bij de piraten in A, B en C of daaromtrent.)

n=8
Kies de vier hoekpunten en de vier zwaartepunten. De minimumafstand is weer wortel(3)/3, dus ongeveer 0.57735027.

n=9
Kies de vier hoekpunten en de middens van vijf van de zes ribben. De minimumafstand is 0.500..
(Bewijs van optimaliteit: oefening voor de lezer.)

n=10
Kies de vier hoekpunten en de middens van de zes ribben. De minimumafstand is 0.500..


klik hier om naar mijn hoofdpagina te gaan