Als kind van acht jaar speelde ik met mijn klasgenootjes op de speelplaats van de sint-Franciscusschool. Wanneer de bel ging, stelden wij ons in rijen op, de kinderen van één klas in één rij, op volgorde van leeftijd; dus in totaal zes rijen, elk met de klasse-oudste voorop.
Er zijn wiskundigen (platonisten genaamd) die de reële getallen (de getallen op de
getallenlijn) hun kinderen
noemen, en ze allemaal durven opstellen op een denkbeeldig schoolplein. Twee kinderen zitten
dan in dezelfde klas als hun verschil x - y een breuk p/q is voor gehele getallen p en q. Dus
pi en pi + 3/4 zijn klasgenootjes. Neemt men nu in elke klas een klasse-oudste met getalwaarde
tussen 0 en 1, dan zou pi - 3 klasse-oudste kunnen zijn van de klas van pi, en wortel(2) - 1/2
klasse-oudste van de klas van wortel(2).
Nu moet u weten dat men elke breuk een uniek eigen nummer kan geven, zodanig dat de
nummers der breuken precies alle natuurlijke getallen 0,1,2,3,... zijn (het getal 0 heeft
nummer 0). Daarom kan men de getallen
uit één klas inderdaad in een (oneindig lange) rij opstellen: de klasse-oudste
voorop op plaats nr 0, 17 plaatsen daarachter (op plaats 17) het getal waarvan het verschil met
de klasse-oudste breuk nr 17 is, etc.
Men zou de klas van wortel(2) helemaal links op het schoolplein kunnen zetten, met
klasse-oudste wortel(2) - 1/2 voorop, en daarnaast de klas van pi,
aangevoerd door pi - 3. Dat zijn dan rij nr 0 en rij nr 1. Maar er zijn zo veel reële
getallen dat men niet alle klassen een uniek eigen nummer kan geven. Er is dus durf voor nodig
om deze klassen van links naar rechts op een schoolplein te willen opstellen, al is het dan maar
in gedachten.
Laten we de platonisten het voordeel van de twijfel geven, en even met hen meedenken.
Alle klassen staan in rijen op het schoolplein. Nu verzamelen ze vervolgens de klasse-oudsten
(de nummers 0 van alle rijen) in een verzameling V0, de nummers 1 van de rijen in
een verzameling V1, de nummers 2 in V2, etc.
Maar die verzamelingen V0, V1, ... zijn ook deelverzamelingen van
de verzameling der reële getallen op de getallenlijn (stel u voor dat ze allemaal van
het schoolplein kunnen terugkeren naar hun plaats op de getallenlijn, en omgekeerd).
Deelverzamelingen van de getallenlijn hebben vaak een lengte, bijvoorbeeld het interval
[2,13] heeft lengte 11. En de vereniging van de intervallen [1/2,1], [1/4,1/3], [1/6,1/5], ...
(etc) heeft lengte 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - .... = 0.693...
De verzamelingen V0, V1, V2, ... zijn allemaal even lang, want men vindt bijvoorbeeld V35 als
men V0 over de getallenlijn verschuift over een afstand gelijk aan de absolute waarde van
breuk nr 35. Hoe lang zijn ze eigenlijk?
Hebben ze lengte 0? Dan hebben ze samen lengte 0 + 0 + 0 + ... = 0, maar ze vullen
samen de hele reële getallenlijn, die toch oneindige lengte heeft; dus dat kan niet.
Hebben ze dus positieve lengte? Maar als bijvoorbeeld breuk nr 8 een getal tussen 0 en 1
is, dan liggen de getallen van V8 allemaal tussen 0 en 2 (want de getallen van V0, de
klasse-oudsten, liggen ook allemaal tussen 0 en 1). En er zijn oneindig veel breuken tussen
0 en 1, dus ook oneindig veel verzamelingen Vi waarvan de getallen allemaal tussen 0 en 2 liggen.
Als zo'n verzameling positieve lengte heeft, dan heeft de vereniging van die verzamelingen
oneindige lengte (ze overlappen elkaar niet), terwijl die vereniging toch een deelverzameling
is van [0,2] en dus hoogstens lengte 2 kan hebben. Dus dat kan ook niet.
Kortom, men kan helemaal niet meten hoe lang de verzameling V0 der klasse-oudsten op de getallenlijn is: ze HEEFT geen lengte. Men kan ook in werkelijkheid slechts van een verwaarloosbaar deel van die klasse-oudsten hun plaats op de getallenlijn aanwijzen. Bestaat V0 eigenlijk wel? Zij bestaat in de gedachten van deze platonistische wiskundigen, die zichzelf dapper noemen. Ja, Sinterklaas bestaat ook, maar hij valt bij nader onderzoek door de mand. Wij noemen die platonisten liever roekeloos.