§ 9: uitwerkingen

O35

i) P oneigenlijk, D eigenlijk.
Trek hulplijn door A evenwijdig aan l'.

ii) P, D, D' oneigenlijk.
Als i), nu slechts te bewijzen AC/BC = A'C'/B'C'.

iii) D oneigenlijk, P eigenlijk.
Limietstand van het algemene geval.

iv) l oneigenlijk.
In dit geval volgt de stelling uit de definitie van de dubbelverhouding van vier punten op de oneigenlijke lijn.

O36
1 2 3 4   λ    2 1 3 4   μ    3 1 2 4   ν    4 1 2 3   ρ
1 2 4 3   μ    2 1 4 3   λ    3 1 4 2   σ    4 1 3 2   τ
1 3 2 4   σ    2 3 1 4   τ    3 2 1 4   ρ    4 2 1 3   ν
1 3 4 2   ν    2 3 4 1   ρ    3 2 4 1   τ    4 2 3 1   σ
1 4 2 3   τ    2 4 1 3   σ    3 4 1 2   λ    4 3 1 2   μ
1 4 3 2   ρ    2 4 3 1   ν    3 4 2 1   μ    4 3 2 1   λ

waarbij μ=1/λ, ν=1/(1-λ), ρ=λ/(λ-1), σ=1-λ, τ=1-1/λ.

O37 Zijn X₁, X₂, X₃, X₄ vier punten op een lijn l, en zijn x₁, x₂, x₃, x₄ vier lijnen zó dat x_i dezelfde projectieve coördinaten heeft als X_i, dan gaan x₁, x₂, x₃, x₄ door één punt L met dezelfde projectieve coördinaten als l:

x_i is de snijlijn met x₃=1 met het vlak α_i door O waarvan OX_i normaal is; deze vier vlakken gaan door de normaal van het vlak door O en l.
Is Y_i := l.x_i , dan is ∠X_iOY_i = 90 graden. Hieruit volgt dat (x₁, x₂; x₃, x₄) = (Y₁, Y₂; Y₃, Y₄) = (X₁, X₂; X₃, X₄).

O38 Beschouw de lijn als een reële getallenrechte, zodat f(x) = E(x-c)/(x-d) met E=(b-d)/(b-c). Teken de grafiek van f.
Bij elk (eigenlijk of oneigenlijk) punt van l bestaat voor elke omgeving V van het beeld van dat punt een omgeving U van het punt zelf zo dat als Y ∈ U dan f(Y) ∈ V.