§ 7: uitwerkingen

O27
a) Elk vlak door de normaal van een vlak α staat loodrecht op α.
b) Twee lijnen l en m door de oorsprong in ℜ³ staan loodrecht op elkaar precies dan als m behoort tot het vlak α waar l normaal van is.
c) Is l normaal van α en m normaal van β, dan is l in β gelegen precies dan als m in α is gelegen.
d) Doorloopt n vlak γ, dan doorloopt het vlak waar n de normaal van is de vlakkenbundel door de normaal van γ.

O28 Hieronder zijn drie hyperbolische rechten door P getekend (in het cirkelmodel van het hyperbolische vlak) die l niet snijden.

O29 Eerst de definities van sinh en cosh: sinh(x) = (exp(x)-exp(-x))/2, cosh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2.
De punten (cosh(t),sinh(t)) doorlopen de halve hyperbool x²-y²=1, zoals (cos(t),sin(t)) de ellips (cirkel) x²+y²=1.
Ook d/dx sinh(x) = cosh(x) en d/dx cosh(x) = sinh(x), zoals d/dx sin(x) = cos(x) en d/dx cos(x) = -sin(x).
Zij nu f(x)=cosh(x) (x niet negatief). Omdat f ' niet negatief is en f(0)=1 is f minstens 1 en een bijectie van [0,∞) op [1,∞). De inverse heet arccosh.
We moeten nu laten zien: |p₃q₃-p₁q₁-p₂q₂| ≥ √(p₃²-p₁²-p₂²) √(q₃²-q₁²-q₂²) en ... = ... ⇔ p = q.
Definieer een symmetrische bilineaire vorm door p.q := p₃q₃-p₁q₁-p₂q₂.
(λp+q).(λp+q) is positief als λp+q binnen k ligt, 0 als λp+q op k ligt, en negatief als λp+q buiten k ligt. Zijn p en q verschillende vast gekozen hyperbolische punten, dan heeft λ²p.p+2λp.q+q.q dus twee verschillende nulpunten, en de discriminant is dan positief.

O30 Zij P = λ(0,0,1) en Q = λ(a,0,1). Dan d(P,Q) = arccosh(1/√(1-a²)) → ∞ als a ↑ 1.

O31 Beschouw P² en daarin de cirkel x²+y²=z². Zij X=(x_o,y_o,z_o).
De poollijn van P is de lijn met vergelijking xx_o+yy_o=zz_o.
Er geldt: P op de poollijn van Q ⇔ x_Px_Q+y_Py_Q=z_Pz_Q ⇔ Q op de poollijn van P.
Verder: indien X op de cirkel ligt, dan is de poollijn van X raaklijn in X aan de cirkel.
In het plaatje ligt P dus op de poollijn van elk der twee snijpunten van l met de cirkel, dus l is de poollijn van P.
Dus de vergelijking van l is xx_P+yy_P=zz_P.
Zij nu n een hyperbolische lijn "door P". Dan is de vergelijking van n van de vorm ax+by=cz waarbij ax_P+by_P=cz_P.
Omdat l projectieve coördinaten (x_P,y_P,-z_P) heeft, en n projectieve coördinaten (a,b,-c) terwijl cz_P-ax_P-by_P=0, is dus l ⊥ m.