§ 4: uitwerkingen

O12 De oneigenlijke rechte in α correspondeert onder de draaiing met de oneigenlijke rechte in β (immers, een bundel evenwijdige lijnen gaat over in een bundel evenwijdige lijnen).
De oneigenlijke rechte in β wordt op u geprojecteerd (een bundel evenwijdige lijnen in β gaat over in een bundel door een punt van u).
Onder de centrale projectie correspondeert de oneigenlijke rechte van α met s. Het origineel is dus s", de lijn in α waarmee s na draaiing van β op α samenvalt (men moet wel een draairichting afspreken).

O13 Kies een punt P" met beeldpunt P' (ongelijk aan P") en een punt Q", niet op P"P', met beeldpunt Q' (ongelijk aan Q"). Zij V het snijpunt P"P'.Q"Q'.
Zij nu X" een punt, niet V, niet op t of P"P' of Q"Q'.

Omdat lijn en beeldlijn elkaar snijden op t, zijn de driehoeken P"Q"X" en P'Q'X' lijnperspectief vanuit t. Ze zijn dus ook overeenkomstig puntperspectief. Dus X"X' gaat door V.
Ga vervolgens verder met X" op P"P', enzovoorts.

O14

Q' ligt op VQ", maar ook op P'S waarbij S = t.P"Q".

O15

De constructie is als in O14.
Ga uit van een lijn l, ongelijk aan t of P'P", en het oneigenlijk punt Q' van die lijn l.
Zij T het snijpunt t.P'Q', zodat Q" op P"T ligt.
Men vindt Q" dan als het snijpunt van P"T met VQ'.

O16 Kies X" op c".
X' ligt op VX", maar ook op P'Y', waarbij Y" = P"X".s".
Omdat Y" op s" ligt, is Y' het oneigenlijke punt van VY".

Drie gevallen: s" heeft met c" twee, één of nul snijpunten. Dan wordt c' respectievelijk een hyperbool, parabool of ellips. Men ziet dit gebeuren als men veel paren (X",X ' ), met X" op c", construeert.