§ 23:

O84
Als L=M ontaardt de kegelsnede in een punt, lijnenpaar of dubbellijn.
Als de projectiviteit een perspectiviteit is, ontaardt de kegelsnede in een lijnenpaar (LM en de perspectiviteitsas).

Als l=m ontaardt de lijnenkegelsnede in een lijn of lijnenwaaier of dubbele lijnenwaaier.
Als de projectiviteit een perspectiviteit is, ontaardt de kegelsnede in een puntenpaar (l . m en het perspectiviteitsoog).

O85
Bij X op l construeert men X ' met behulp van de constructie van Steiner (zie §11). XX ' is een lijn van de gevraagde lijnenkegelsnede.
Neemt men X = l . p dan vindt men X ' = l . m . Dus l behoort tot de lijnenkegelsnede.
Neemt men X = l . m dan vindt men X ' = p . m . Dus m behoort tot de lijnenkegelsnede.

O86
Noem de lijnen l, m, a, b, c.
Zij A = l . a , B = l . b, C = l . c , A ' = m . a , B ' = m . b, C ' = m . c .
De kegelsnede ontstaat dan uit de projectiviteit die aan A toevoegt A ' , aan B toevoegt B ' , en aan C toevoegt C ' .
Neem X op l en construeer X ' met de constructie van Steiner. Dan is XX ' een zesde lijn van de lijnenkegelsnede.

O87
De kegelsnede bestaat uit de punten x . φ(x), waarbij φ een projectiviteit is van een lijnenwaaier L op een lijnenwaaier M.
Deze projectiviteit induceert op elke lijn l (niet door L of M) een projectiviteit θ : X → φ(XL) . l .

Indien l drie punten van k bevat, dan zijn dit dekpunten van θ, en is θ de identiteit. Maar dan is φ een perspectiviteit met as l, en is k ontaard.
Is l een lijn door L, dan bevat m . k behalve L alleen l . φ(l), of φ(l) = l en k is ontaard.