§ 2: uitwerkingen

O5 Zij p een rechte door O.
Indien p in x₃=0 ligt, voegen we aan p het oneigenlijk punt met die richting in x₃=1 toe.
Indien p niet in x₃=0 ligt, voegen we aan p zijn snijpunt met x₃=1 toe.

Zij l een vlak door O.
Indien l het vlak x₃=0 is, voegen we aan l de oneigenlijke rechte toe.
Indien l een ander vlak is, voegen aan l zijn snijlijn met x₃=1 toe.

Definieer vervolgens de incidentierelatie in (P",L") met behulp van deze bijecties: dus Ap incident met Bl precies dan als p incident is met l.

O6 Voeg aan een rechte door O zijn snijpunt met B toe, en aan een vlak door O de snijcirkel van dat vlak met B.
Dit geeft een bijectie φ:P→P''' en een bijectie ψ:L→L''' zo dat φ(p) incident is met ψ(l) precies dan als p incident is met l.

O7

Noemt men L de puntenverzameling en P de lijnenverzameling, dan krijgt men de duale meetkunde, die met de oorspronkelijke isomorf is.
Laatste vraag:
Elke projectieve meetkunde bevat minstens zeven punten, want:
i) P is niet leeg, dus er is een punt p₁.
ii) Door p₁ gaan minstens drie lijnen l₁, l₂, l₃ (axioma A2).
iii) Op l₁ liggen minstens drie punten p₁, p₂, p₃ (axioma A1).
iv) Op l₂ liggen twee punten p₄ en p₅ die niet met p₁, p₂ of p₃ samenvallen (A1, en A3 of A4).
v) Zo ook op l₃ twee punten p₆ en p₇ die niet met een der andere vijf samenvallen.