CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 14:


O55 Stel A = ((a,b),(c,d)) voldoet. A voert (4,-5) over in ρ(1,2) en (1,2) in σ(4,-5). Er komt A = μ((2.1),(-1,-2)).


O56 Stel A = ((a,b),(c,d)) voldoet. Uit A2 = λE volgt a2 = d2 en c(a+d) = b(a+d) = 0.
Als a=d≠0 volgt b=c=0, maar dan is de projectiviteit triviaal. Dus a=-d.
De eigenwaarden volgen uit het nul stellen van de karakteristieke polynoom λ2 - a2 - bc. Dus hyperbolisch als a2 + bc positief is, elliptisch als a2 + bc negatief is. Als a2 + bc = 0, is de matrix singulier.


O57 Noem X3=Y1 en bewijs: Y3=X1P op p.

(Y3=X1PY3=PX1Y2X1=PX1)

"→" : Als Y3=X1 dan Y2X1=PX1 en Y2X1.Y1X2 = PX1.PX2 = P. Dus P op p.

"→" : Als P op p dan P = p.Y1X2 dus P op Y2X1. Dan Y2X1=PX1 dus Y3=X1.

O58 Uit de gegevens volgt (P, Q; A, A') = (P, Q; B, B') = -1 = (Q, P; B, B').
Dus de projectiviteit die aan P toevoegt Q, aan Q toevoegt P, en aan A toevoegt B, voegt aan A' toe B'.
(Het is een involutie omdat hij P en Q verwisselt.)


HOME