§ 13:

O52

π is het product van de perspectiviteit ρ van l op m met centrum S en de perspectiviteit σ van m op l met centrum T.
Het tweede vaste punt is dus M := ST.l .

Opmerking : Past men dit toe met C = B', dan vindt men : M = A ↔ (A, B'; B, C') = -1.
Bewijs:
→ door C' te construeren als M = A (dus T = B₁B'.SA),
← door M te construeren als C' de vierde harmonische is bij {A, B'} en B (dus C' = C₁X.l met X = B₁B'.SA).

O53
Kies s en m door A, en R en S op s als in het plaatje van §13 zó dat μ(λ(B)) = B'. Dan is ψ = μoλ.
Toelichting: een parabolische projectiviteit met dekpunt A die aan B toevoegt B', voegt aan B' toe de vierde harmonische bij {A,B'} en B (zie de opmerking na de uitwerking van O52) ; ψ is dus door de gegevens eenduidig bepaald.

O54
De lineaire afbeelding voert b over in αc, en c in βb, en a = b - 2c in ρa, dus heeft matrix ((0, β), (α, 0)) waarbij -2β = ρ , α = -2ρ.
De matrix is dus β((0,1),(4,0)).
De eigenwaarden zijn 2 en -2 met eigenruimten E_-2 = λ(1,-2) = λa, E₂ = λ(1,2) = λ(-2,3,-4). Dit zijn tevens de dekpunten.