§ 9: Scheiding en dubbelverhouding

Gegeven vier verschillende punten A,B,C,D op een lijn l.
Na keuze van een oriëntatie van l hebben de afstanden een teken, zodat AB = - BA, etc.
We definiëren de dubbelverhouding van A,B,C,D (in deze volgorde) door (A,B;C,D) = (AC/AD)/(BC/BD). Deze dubbelverhouding is onafhankelijk van de oriëntatie van l.
Men zegt dat de paren {A,B} en {C,D} elkaar scheiden als (A,B;C,D) negatief is (dwz dat één der punten C,D tussen A en B in ligt, en het andere niet. Zie ook O36.

Stelling : Scheiding en dubbelverhouding zijn invariant onder een perspectiviteit van een lijn op een lijn.

Bewijs : (zie ook O35)
Dat scheiding invariant is, ziet men direct (onderscheid wel het geval dat P tussen l en l' in ligt en het andere geval). Verder:

Zij H het voetpunt van de loodlijn uit P op l. Afgezien van de tekens geldt:
(AC/AD)/(BC/BD) = ((AC . HP/2)/(AD . HP/2))/((BC . HP/2)/(BD . HP/2)) = ((opp ΔAPC)/(opp ΔAPD))/((opp ΔBPC)/(opp ΔBPD)) =
((AP.CP sin∠APC)/(AP.DP sin∠APD))/((BP.CP sin∠BPC)/(BP.DP sin∠BPD)) = ((sin∠APC)/(sin∠APD))/((sin∠BPC)/(sin∠BPD)) =
((sin∠A'P'C')/(sin∠A'P'D'))/((sin∠B'P'C')/(sin∠B'P'D')) = (A'C'/A'D')/(B'C'/B'D').

Voor vier lijnen a,b,c,d door een punt P definiëren we de dubbelverhouding (a,b;c,d) als (a.l , b.l ; c.l , d.l), waarbij l een niet door P gaande maar overigens willekeurige lijn is.
De paren {a,b} en {c,d} scheiden elkaar als {a.l , b.l} en {c.l , d.l} elkaar scheiden.
Definieer nu zelf de dubbelverhouding van vier punten op de oneigenlijke lijn.

De volgende stelling is nu evident;
Stelling : scheiding en dubbelverhouding zijn invariant onder projectiviteiten.

O35 Bewijs de voorlaatste stelling voor het geval dat P en/of D oneigenlijk zijn, en voor het geval dat l oneigenlijk is.

O36 Stel (X₁,X₂;X₃,X₄) = λ. Bereken (X_σ(1),X_σ(2);X_σ(3),X_σ(4)) voor elke permutatie σ van {1,2,3,4}.
Hoeveel verschillende waarden zijn er? (Aanwijzing: (X₁,X₂;X₃,X₄) + (X₄,X₂;X₃,X₁) = 1.)

O37 Stel X₁,X₂,X₃,X₄ zijn vier punten op een lijn l, en x₁,x₂,x₃,x₄ zijn vier lijnen door een punt L, waarbij X_i en x_i dezelfde projectieve coördinaten hebben. Bewijs dat (X₁,X₂;X₃,X₄) = (x₁,x₂;x₃,x₄).

O38 Definieer de functie f van een lijn l naar de reële getallen met ∞ (=-∞) door f(X) = (X,B;C,D), waarbij B,C,D drie verschillende vast gekozen punten op l zijn.
Bewijs dat f een continue bijectie is, en waarden heeft als in het volgende plaatje:

uitwerkingen