Hoofdstuk 2: PROJECTIEVE AFBEELDINGEN VAN EEN LIJN OP EEN LIJN

§ 8: Perspectiviteiten en projectiviteiten

Laten l en m twee lijnen zijn in het reële projectieve vlak, en zij P een punt, niet op l en niet op m.
Door projectie vanuit P ontstaat een bijectie van l op m waarvan het snijpunt l.m dekpunt is.

Deze bijectie heet perspectiviteit, en men noteert l(A₁,B₁,S,C₁) _∧=^P m(A₂,B₂,S,C₂).
P heet perspectiviteitscentrum van deze perspectiviteit.
Men heeft meteen een bijectie van de lijnenwaaier door P op de puntenreeks l die elementaire perspectiviteit van snijding heet:
P(a,b,s,c,...) _∧= l(A₁,B₁,S,C₁,...).
De inverse heet elementaire perspectiviteit van verbinding.
De perspectiviteit van l op m met centrum P is dus het product van de perspectiviteit van verbinding van l naar P en de perspectiviteit van snijding van P naar m.

Nu het duale geval: ga uit van twee punten L en M en een lijn p niet door L en niet door M.
Het product van de elementaire perspectiviteit van snijding van L naar p en de elementaire perspectiviteit van verbinding van p naar M is een bijectie van L naar M, genaamd lijnenwaaierperspectiviteit met as p.
De lijn LM is invariant. Men noteert L(x,t,...) _∧=^p M(x',t',...), etc.

De compositie van een of meer (elementaire) perspectiviteiten heet projectiviteit.
Men onderscheidt dus projectiviteiten tussen twee puntenreeksen, projectiviteiten tussen twee lijnenscharen, projectiviteiten tussen een puntenreeks en een lijnenschaar, en projectiviteiten tussen een lijnenschaar en een puntenreeks. Een voorbeeld:

Notaties l(A₁,B₁,C₁,...) _∧- m(A₂,B₂,C₂,...), P(a₁,b₁,c₁,...) _∧- Q(a₃,b₃,c₃,...), P(a₁,b₁,c₁,...) _∧- n(A₃,B₃,C₃,...), etc.
De laatste formule betekent: "Er bestaat een projectiviteit van P naar n die aan a₁ toevoegt A₃, aan b₁ B₃, en aan c₁ C₃."
Neem eens een willekeurig punt X₁ op l, en construeer het beeldpunt X₂ onder de eerste van de drie projectiviteiten die door de onder het plaatje staande formules worden aangeduid.
Zij x₁:=PX₁, en construeer het beeld x₃ bij de tweede projectiviteit en het beeld X₃ bij de derde.
De afbeelding X₁ → x₃.l is een projectiviteit van l op l. (De puntenreeksen {X₁} en {x₃.l} heten over elkaar heen gelegde puntenreeksen in projectieve correspondentie. Zo heeft men ook over elkaar heen gelegde lijnenwaaiers in projectieve correspondentie.)

Nota bene: formules als l(A,B,C) _∧= m(A',B',C') stellen beweringen voor (in dit geval: "er bestaat een perspectiviteit van l naar m die aan A toevoegt A', aan B toevoegt B', en aan C toevoegt C' ").
Als A, B, C, D op l liggen, en E, F, G, H op m, dan zijn de beweringen l(A) _∧= m(E) en l(A,B) _∧= m(E,F) altijd waar, en l(A,B,C) _∧= m(E,F,G) alleen indien CG door het snijpunt van AE en BF gaat;
de beweringen l(A) _∧- m(E) , l(A,B) _∧- m(E,F) , en zelfs l(A,B,C) _∧- m(E,F,G) (zie O34) zijn altijd waar, maar l(A,B,C,D) _∧- m(E,F,G,H) is alleen waar bij een speciale ligging van H ten opzichte van de andere zeven punten.

O32 Zij r een lijn, en zij R_∞ het oneigenlijk punt van die lijn. Laten A, B en I verschillende punten zijn op r, ongelijk aan R_∞, en P een eigenlijk punt niet op r.
Projecteer de gegeven punten vanuit P op een lijn r' (met oneigenlijk punt R_∞), waarbij r' door I gaat en niet samenvalt met r.
Projecteer ook R_∞ op r' en R_∞ op r.

O33 Neem drie verschillende punten A, B en C op een lijn l. Zij P een punt buiten l, en m een lijn door A maar niet door P.
Projecteer A, B, C vanuit P op m en vind de beeldpunten A', B', C'. Zij Q het snijpunt B'C.BC'.
Laat zien dat er een projectiviteit bestaat met l(A,B,C) _∧- l(A,C,B).
Maak ook de duale constructie.

O34 Gegeven drie verschillende punten A, B, C op een lijn l en drie verschillende punten A', B', C' op een lijn m.
Bewijs dat er minstens één projectiviteit bestaat die A, B en C overvoert in (respectievelijk) A', B' en C'.
Onderscheid drie gevallen.

uitwerkingen