§ 3: De stellingen van Pappus en Desargues

In het reële projectieve vlak P² gelden twee stellingen die niet uit de axioma's A1 t/m A4 zijn af te leiden en dus niet in elk model van een projectieve meetkunde gelden: de stellingen van Pappus en Desargues.

stelling van Pappus: Gegeven twee lijnen l en m, drie punten A₁, A₂ en A₃ op l, en drie punten B₁, B₂ en B₃ op m. Dan liggen de snijpunten A₁B₂. A₂B₁, A₂B₃. A₃B₂ en A₃B₁. A₁B₃ op één lijn.

stelling van Desargues: Gegeven twee driehoeken A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂, waarbij A₁A₂, B₁B₂ en C₁C₂ door één punt gaan. Dan zijn de snijpunten A₁B₁. A₂B₂, A₁C₁. A₂C₂ en B₁C₁. B₂C₂ collineair.
Andere formulering: als twee driehoeken puntperspectief zijn, dan zijn ze overeenkomstig lijnperspectief.

opmerkingen:
1. Men kan bewijzen dat de stelling van Desargues volgt uit die van Pappus. Het omgekeerde geldt niet.
2. Men kan de meetkunde van het rële projectieve vlak opbouwen door aan de axioma's A1 t/m A4 de stelling van Pappus en diens duale toe te voegen (synthetische methode). We zullen dit niet doen, maar in plaats daarvan gebruik maken van het projectieve begrip dubbelverhouding om beide stellingen te bewijzen. Zie voor deze bewijzen §11.
3. Men kan de stellingen van Pappus en Desargues gebruiken voor lineaalconstructies ("Messung mit dem Richtscheid", Dürer). Zie O9 en O10.

O8 Dualiseer de stellingen van Pappus en Desargues en maak de bijbehorende constructies.

O9 Gegeven twee lijnen l en m en een punt P niet op l en niet op m, terwijl het snijpunt l.m niet op het papier valt. Construeer de lijn die P verbindt met l.m (U kunt elk der stellingen Desargues, Pappus en duale Pappus gebruiken.)

O10 Gegeven een lijn l en twee punten A en B, niet op l. Tussen A en B is een kaarsvlek, zodat men AB niet kan trekken. Construeer het snijpunt AB.l.

O11 Ga uit van het reële projectieve vlak en definieer een nieuwe meetkunde met: punten als in P², lijnen als in P², behalve dat lijnen y=m(x-a) met m positief vervangen worden door op de x-as geknikte lijnen met voorschrift y=m(x-a) voor x kleiner dan a, en y=(m/2).(x-a) voor x groter dan a.
Ga na dat in deze meetkunde de axioma's A1 t/m A4 wèl gelden, maar de stelling van Desargues niet (beschouw de driehoeken (-1,0),(1,0),(0,1) en (-1,-2),(1,-2),(0,-1).
In deze meetkunde geldt Pappus dus ook niet (zie hierboven, opmerking 1). Laat dat zien met een voorbeeld.

uitwerkingen