§ 13: Indeling der projectiviteiten van een lijn op zichzelf

Opmerking : Indien φ een projectiviteit is van een puntenreeks l op zichzelf, en φ heeft drie dekpunten, dan is φ de identiteit. Dit volgt uit de fundamentele stelling.
Zo ook: een projectiviteit van een lijnenwaaier L op zichzelf met drie invariante lijnen is de identieke afbeelding.

Definitie : Zij φ een projectiviteit van een puntenreeks l op zichzelf (respectievelijk van een lijnenwaaier L op zichzelf).

i) Indien φ geen dekpunten (invariante lijnen) heeft, dan heet φ elliptisch.
ii) Indien φ precies één dekpunt (invariante lijn) heeft, dan heet φ parabolisch.
i) Indien φ twee dekpunten (invariante lijnen) heeft, dan heet φ hyperbolisch.

Er bestaan projectiviteiten van iedere soort:

i) Laat φ de projectiviteit l → l zijn met, voor drie gegeven punten A, B, C op l, φ(A) = B, φ(B) = C, φ(C) = A.
Stel dat er een dekpunt D is. Dan geldt: (A, B; C, D) = (B, C; A, D), dus d = 1 - 1/d (vgl O36). Omdat voor alle reële getallen d, en ook voor d=∞ geldt d ≠ 1 - 1/d, volgt tegenspraak.
Dus φ is elliptisch.

ii) (zie plaatje hieronder)

Zij λ de perspectiviteit van l op m met centrum R, en μ de perspectiviteit van m op l met centrum S.
Dan is μoλ een parabolische projectiviteit van l op l (P is het enige dekpunt).
Maak ook de duale constructie.

iii) Laten A, B, C, D verschillende punten op l zijn. Laat φ de projectiviteit l → l zijn met φ(A) = A, φ(B) = B, φ(C) = D. Dan is φ niet de identieke afbeelding, maar φ heeft wel twee verschillende dekpunten. Dus is φ hyperbolisch.

Laat met de derde stelling van §10 zien dat de projectiviteiten van een lijn l op zichzelf corresponderen met de reguliere 2 bij 2 matrices.
Hoe kan men bij een matrix A bepalen wat de soort is van de bijbehorende projectiviteit?
Vormen de parabolische projectiviteiten, plus de identiteit, een ondergroep van de groep der projectiviteiten van l op l?

O52 Van een hyperbolische projectiviteit π is gegeven π(A) = A, π(B) = B', π(C) = C'. Construeer het tweede vaste punt.

O53 Van een parabolische projectiviteit π is A het vaste punt, en π(B) = B'. Construeer het beeldpunt van X.

O54 Gegeven l: λ(1,2,1) en daarop de punten A: λ(2,-1,0), B: λ(0,1,-2), en C: λ(-1,1,-1).
Zij φ de projectiviteit van l naar l die A overvoert in zichzelf en B en C verwisselt.
Geef de matrix van φ op basis b, c, en bepaal de dekpunten van φ.

uitwerkingen