CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 12: Harmonische scheiding en de volledige vierhoek


Definitie : Gegeven vier punten A, B, C, D op een lijn l. De paren {A, B} en {C, D} scheiden elkaar harmonisch indien (A, B; C, D} = -1.
Gegeven vier lijnen a, b, c, d door een punt L. De paren {a, b} en {c, d} scheiden elkaar harmonisch indien (a, b; c, d} = -1.
Zie ook O48.


Definitie : Een volledige vierhoek is de figuur gevormd door vier vrijgelegen punten (dwz geen drie collineair) en hun zes verbindingslijnen (de zijden).
Overstaande zijden zijn zijden waarvan het snijpunt geen hoekpunt is. Het snijpunt van twee overstaande zijden heet diagonaalpunt. De verbindingslijn van twee diagonaalpunten heet diagonaal.
Er zijn drie diagonaalpunten (bewijs dit zelf) en drie diagonalen.


Stelling : De twee zijden en twee diagonalen van een volledige vierhoek, gaande door een diagonaalpunt, vormen elkaar harmonisch scheidende paren.

Bewijs : (zie het plaatje)
l(H1, H2, X ', D3) =D2 m(H3, H4, X, D3) =D1 l(H2, H1, X ', D3), dus (H1, H2; X ', D3) = (H2, H1; X ', D3).
Noemt men dit getal d, dan volgt d=1/d. Dus d=+1. Omdat de punten verschillend zijn is d=-1.


Opmerking : Strict genomen heeft men bij de opbouw van de pm van het reële projectieve vlak de dubbelverhouding niet nodig. Men kan het ook doen men de volledige vierhoek, maar dan moet men een stel axioma's van ordening en continuïteit formuleren.
(Zie Coxeter : "The real projective plane".)


Opgaven :

O48 Stel (X1, X2; X3, X4) = -1. Vind alle permutaties σ van {1,2,3,4} zo dat (Xσ(1), Xσ(2); Xσ(3), Xσ(4)) = -1.

O49 Gegeven drie punten A, B, C op een lijn l. Gebruik de figuur van een volledige vierhoek voor de constructie van de vierde harmonische bij {A, B} en C (dit is X zo dat (A, B; C, X) = -1).

O50 Gegeven twee volledige vierhoeken A0A1A2A3 en B0B1B2B3 met A2 = B2 , A3 = B3 en D1 := A0A1 . A2A3 = B0B1 . B2B3 := E1.
Definieer de overige diagonaalpunten als volgt: D2 := A0A2 . A1A3 , E2 := B0B2 . B1B3 , D3 := A0A3 . A1A2 , E3 := B0B1 . B1B2 .
Toon aan dat D2D3 , E2E3 en A2A3 concurrent zijn.

O51 Stel P ligt niet op een der zijden van driehoek ABC. Construeer de lijn die BC, CA en AB snijdt in D, E, F zó dat {P, F} en {D, E} elkaar harmonisch scheiden. (Zie O49.)



uitwerkingen


HOME