CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 11: Lijn en punt van Pappus


Stelling van Pappus : Laten A, B, C drie punten zijn op een lijn l, en A', B', C' drie punten op een andere lijn m. Dan liggen de punten AB'.BA', AC'.CA', BC'.CB' op één lijn (de Pappuslijn van het zestal).

Bewijs: Beschouw onderstaande figuur:

Er geldt (B', T, C, X) =B (B', C', P, A') =A (Y, S, C, A').
Dus de projectiviteit die B' op Y, T op S en X op A' afbeeldt, laat C invariant, en is dan volgens O40 een perspectiviteit.
Dus B'Y, TS en XA' zijn concurrent. Dit was te bewijzen.


Stelling van Steiner : Zij φ een projectiviteit van een lijn l op een andere lijn m. Dan zijn alle punten Xφ(Y).Yφ(x) met X, Y op l, collineair (op de Pappuslijn van de projectiviteit).

Bewijs: Kies drie punten A, B, C op l, en zij A':=φ(A), B':=φ(B), C':=φ(C). Zij p de Pappuslijn van dit zestal.


Is γ de perspectiviteit van l op p met centrum A', en δ die van p op m met centrum A, dan is φ = δoγ (omdat zowel φ als δoγ A, B, C overvoeren in (resp.) A', B', C' , FS).
Voor X op l vinden we dus φ(X) door eerst X te projecteren vanuit A' op p, en dan dit beeldpunt vanuit A op m (constructie van Steiner).
Zijn X en Y nu willekeurige punten op l, dan is p blijkbaar de lijn door XA'.Aφ(x) en YA'.Aφ(Y). Past men de stelling van Pappus toe op A, X, Y, A', φ(X), φ(Y), dan vindt men dat Xφ(Y).Yφ(x) op p ligt.


O43 Stel dat φ een projectiviteit is van een lijn l op een andere lijn m. Onderzoek met behulp van de stelling van Steiner wat het beeldpunt is van p.l, en wat het beeldpunt is van l.m.
Laat met behulp van O40 zien dat φ precies dan een perspectiviteit is als l, m en p door één punt gaan. Dualiseer.

O44 Zij φ een projectiviteit van een lijn l op een andere lijn m. Van φ zijn de Pappuslijn en een paar (A, φ(A)) gegeven.
Ga na in welke gevallen φ door deze gegevens ondubbelzinnig bepaald is. Dualiseer.

O45 Gegeven zijn drie lijnen a, b, c door een punt L en drie lijnen a', b', c' door een ander punt M.
Zij φ de projectiviteit van L op M met φ(a) = a ', φ(b) = b ', φ(c) = c '.
Construeer het Pappuspunt van de projectiviteit.
Zij l een vierde lijn door L. Construeer φ(l).

O46 Bekijk de volgende figuur en bestudeer de tekst eronder. Bewijs daarmee de stelling van Desargues.


De driehoeken A1B1C1 en A2B2C2 zijn perspectief vanuit S.
We moeten bewijzen dat PR door Q gaat.
We zoeken dus een projectiviteit met (S, A1, D, A2) - (S, C1, F, C2).
Deze is dan een perspectiviteit op grond van O40, en het te bewijzene volgt.

O47 Construeer in de situatie van O34 bij willekeurige X op l het beeldpunt X ' met behulp van Steiner.


uitwerkingen


HOME