CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


Hoofdstuk 1: INLEIDING


§ 1: Centrale projectie


Beschouw twee niet-evenwijdige vlakken α en β en een punt P dat niet op een van beide vlakken ligt.
Zij s de snijlijn van β met het vlak door P evenwijdig aan α.
Zij t de snijlijn van α en β.
Zij u de snijlijn van α en het vlak door P evenwijdig met β.
Voor elk punt X in β dat niet in s ligt, zij X' het snijpunt van α en de verbindingslijn van P en X.



De toevoeging XX' is een bijectie van β/s op α/u, genaamd centrale projectie. Er geldt:
i) Als de punten A, B, C in β/s collineair zijn (zeg op l), dan zijn ook de beeldpunten A', B', C' collineair (op l').
ii) Als de lijnen a, b en c in β concurrent zijn in een punt L van β/s, dan zijn de beeldlijnen a', b' en c' concurrent in L'.
iii) Als l en m lijnen in β zijn die s in verschillende punten snijden en onderling evenwijdig zijn, dan snijden l' en m' elkaar in een punt van u.
iv) Als l en m lijnen in β zijn, evenwijdig met s maar niet samenvallend met s, of snijdend in een punt van s, dan zijn l' en m' evenwijdig.
v) Zij d(A,B) de afstand tussen A en B. Stel dat A, B en C collineair zijn in β/s. In het algemeen geldt d(A,B) ≠ d(A',B') en d(A,B)/d(B,C) ≠ d(A',B')/d(B',C').
vi) Zij ∠(l,m) de kleinste hoek tussen l en m. Stel dat A, B en C niet-collineaire punten in β/s zijn. In het algemeen geldt ∠(AB,BC) ≠ ∠(A'B',B'C').
vii) Het beeld van een cirkel c in β is een kegelsnede in α, en wel: een ellips als c niet snijdt met s, een parabool als c raakt aan s, en een hyperbool als c in twee verschillende punten snijdt met s.

We definiëren projectieve meetkunde voorlopig als de studie van die meetkundige begrippen die invariant zijn onder centrale projectie.
Voorbeelden van projectieve begrippen zijn:

a) punten, lijnen, en incidentie van punten en lijnen (een punt A heet incident met een lijn l indien A op l ligt); collineariteit en concurrentie, volledige driehoeken en volledige vierhoeken;
b) scheiding en dubbelverhouding
(stel A, B, C, D zijn vier punten op een lijn l, dan scheiden de paren {A,B} en {C,D} elkaar indien één der punten C en D tussen A en B in ligt, en het andere niet;
de dubbelverhouding (A,B;C,D) is het getal (d(A,C)/d(A,D)):(d(B,C)/d(B,D)), nog voorzien van een minteken als {A,B} en {C,D} elkaar scheiden), zie paragraaf 9.

Begrippen als afstand en afstandsverhouding, hoekmaat, ellips, parabool en hyperbool, en evenwijdigheid, zijn geen projectieve begrippen (wel het begrip kegelsnede en het begrip raken).


opgaven:


O1 Verifieer alle bovenstaande beweringen in deze paragraaf.

O2 Bij parallelprojectie wordt de bundel van lijnen door P vervangen door een bundel van evenwijdige lijnen die α en β snijden.
Een meetkundig begrip dat invariant is onder parallelprojectie heet affien begrip. Welke van de boven genoemde begrippen zijn affien?

O3 Zij l een lijn in β die s snijdt in S, en zij l' de beeldlijn in α. Zij c een cirkel die raakt aan l'. Geef het voorschrift van een continue afbeelding van l op c.

O4 Stel dat de cirkel c in β de lijn s snijdt in A en B, zodat de beeldfiguur een hyperbool is.
Welke lijnen in β corresponderen met de asymptoten van deze hyperbool?
Beredeneer door verwijzing naar de situatie in β dat de lijnen in α met asymptotische richting de hyperbool in hoogstens één punt snijden.


uitwerkingen


HOME