((Wat tussen dubbele haken staat, kunt u bij eerste lezing overslaan.))

1) Rimpels in een wereldbeeld

De Griekse wiskundige Euclides was in de derde eeuw voor Christus werkzaam in de beroemde hellenistische bibliotheek van Alexandrië, aan de monding van de Nijl. Zijn meesterwerk, de Elementen, is tot in de twintigste eeuw de standaard voor vlakke meetkunde gebleven. Deze wordt volgens de strenge regels der logica van Aristoteles afgeleid uit enkele definities en axioma's.
Echter, hoeveel indruk zijn methode ook gemaakt heeft, hij voldoet niet aan moderne maatstaven. Euclides' definitie van een punt, 'dat wat geen deel heeft', is nog enigszins begrijpelijk. Maar een rechte lijn ligt, volgens Euclides, 'gelijkelijk met zijn punten op zichzelf ', en daar is geen touw aan vast te knopen.
De zeventiende-eeuwse Franse filosoof Pascal zei dat men niet moet willen definiëren waar iedereen een helder idee van heeft. Het is echter de vraag of iemand een helder idee heeft van wat een rechte lijn is. Volgens Plato weten wij bij voorbaat wat een rechte lijn is, omdat dat begrip volgens hem is aangeboren. Volgens Aristoteles, daarentegen, vormen wij het begrip 'rechte lijn' door abstractie, na het zien van veel min of meer rechtlijnige voorwerpen. Maar niemand heeft ooit een volkomen rechte lijn gezien. Elke lichtstraal wordt immers (een heel klein beetje) afgebogen in het zwaartekrachtveld waar het zich door voortplant. Tegenwoordig probeert men inderdaad niet meer het begrip 'rechte lijn' te definiëren. Dit geeft de meetkundigen wel de vrijheid, om aan dit begrip een eigen invulling te geven.
Euclides formuleerde voor zijn vlakke (euclidische) meetkunde ook een tiental axioma's. Bijvoorbeeld: door twee gegeven punten gaat precies één rechte lijn. Of, een ander: het geheel is groter dan het deel. Onder zijn axioma's is er echter één dat men altijd als een vreemde eend in de bijt heeft beschouwd (omdat het een beetje ingewikkelder is dan de andere). Dat is het parallellenpostulaat, dat, in een latere formulering, luidt:

Door een punt A buiten een gegeven rechte lijn BC gaat precies één rechte lijn die evenwijdig is aan de rechte lijn BC (zie het plaatje).

Met behulp van dit parallellenpostulaat kan men bewijzen dat in elke driehoek ABC de som van de hoeken gelijk is aan 180 graden (zie ook hiervoor het plaatje).

Door de eeuwen heen hebben wiskundigen geprobeerd het parallellenpostulaat af te leiden uit de andere axioma's. Als dat zou lukken, kon men met een axioma minder toe. De Italiaanse Jezuïet Saccheri is er rond 1700 zeer gedisciplineerd mee bezig geweest. Ruim een eeuw later stierf de Franse wiskundige Legendre in de gelukzalige mening dat het hem gelukt was. Hij had in zijn bewijs echter, zonder het te merken, iets voor waar aangenomen dat op hetzelfde neerkomt als het parallellenpostulaat dat hij nou net wilde bewijzen.
De beroemde Duitse wiskundige Carl Friedrich Gausz vermoedde, rond 1850, dat het parallellenpostulaat in onze cosmos helemaal niet geldt, dus dat onze cosmos niet-euclidisch is. Om dat te bewijzen mat hij de hoeken van de driehoek gevormd door drie bergtoppen, in de hoop dat ze samen niet 180 graden zouden zijn. De afwijking die hij vond viel echter binnen de meetfout. Had hij kunnen meten vanaf drie sterren in plaats van drie bergtoppen, dan was de som van de hoeken waarschijnlijk niet 180 graden geweest, want het schijnt dat onze cosmos inderdaad 'gekromd' en niet-euclidisch is.
Gausz heeft zijn vermoeden niet aan de grote klok gehangen, want hij was bang dat hij dan net zo verketterd zou worden als Galilei.

2) Niet-euclidische meetkunden

In de negentiende eeuw ontwikkelden meetkundigen als Lobachevsky en Riemann meetkundige systemen door, uitgaande van het systeem van Euclides, het parallellenpostulaat te vervangen door een ander postulaat. Door aan het begrip 'rechte lijn' een andere invulling te geven dan Euclides bedoeld had, vond men ook modellen voor deze meetkundige systemen, zoals hieronder zal worden getoond. In deze modellen is niet aan het parallellenpostulaat voldaan, maar wel aan de andere axioma's van Euclides.
Daarmee is dan meteen bewezen dat men het parallellenpostulaat niet uit de andere axioma's kan afleiden, dus dat de pogingen van Saccheri en Legendre tot mislukken gedoemd waren. En dit toont weer aan hoe bekwaam Euclides was, omdat hij toen al inzag dat hij het vermaledijde parallellenpostulaat als onafhankelijk axioma nodig had.

Riemann beschreef een systeem van een 'vlakke' meetkunde op het oppervlak van een bol. Het oppervlak van een bol is niet echt vlak, maar lijkt dat wel van heel dichtbij gezien. Voorbeelden van 'rechte lijnen' zijn de meridianen en de evenaar. Deze 'rechte lijnen' zijn dus niet echt recht, net zo min als een lichtstraal echt een rechte lijn volgt, maar van heel dichtbij gezien lijken ze wel recht. Het zijn geodeten, dat wil zeggen: de kortste weg over de bol tussen twee punten op de bol gaat via zo'n 'rechte lijn'.
((Om precies te zijn: een 'rechte lijn' van deze meetkunde is (per definitie) een 'grote cirkel' op de bol, dat is een cirkel op de bol die gelegen is in een plat vlak door het middelpunt van de bol.))
Twee 'rechte lijnen', bijvoorbeeld de meridianen op drie en vier graden oosterlengte, die van dichtbij bekeken evenwijdig lijken te zijn, snijden elkaar altijd (in de twee polen).
Dit is een model van een elliptische meetkunde. Het parallellenpostulaat wordt hier vervangen door het postulaat dat door een punt A buiten BC geen enkele 'rechte lijn' gaat die evenwijdig is aan BC, of met andere woorden: elk tweetal 'rechte lijnen' heeft een snijpunt (zelfs twee), en dus bestaat er geen evenwijdigheid. In het plaatje hieronder ziet u drie 'rechte lijnen' die een driehoek vormen waarvan de som der hoeken niet 180 graden is, maar 230 graden. In de inzet ziet u dat op 'kleine' delen van het bol-oppervlak de hoeksom wel (iets groter dan) 180 graden is. In de elliptische meetkunde is de som der hoeken in een driehoek altijd groter dan 180 graden.

De Franse meetkundige Poincaré beschreef een systeem van een vlakke meetkunde binnen een cirkelschijf. Zie het plaatje van de beroemde tekenaar Escher: de (getoonde) 'rechte lijnen' zijn de witte lijnen over de ruggen van de visjes. Ook hier heeft de ontwerper van het systeem een eigen invulling gegeven aan het begrip 'rechte lijn': de lijnen zijn niet echt recht, maar lijken recht als je ze van heel dichtbij bekijkt.
((Om precies te zijn: een 'rechte lijn' van deze meetkunde is ofwel een (echt) rechte lijn door het middelpunt van de cirkelschijf, voor zover gelegen binnen de cirkelschijf, ofwel een gedeelte van een cirkel die de rand van de cirkelschijf loodrecht snijdt, namelijk het gedeelte dat binnen de cirkelschijf ligt. De 'rechte lijnen' zijn de geodeten met betrekking tot de metriek die Poincaré aan zijn model gaf.))
Kunt u in het plaatje een 'rechte lijn' BC ontdekken en een punt A buiten BC en drie rechte lijnen door A die alle drie BC niet snijden, dus 'evenwijdig' zijn met BC?
Ziet u ook de driehoekjes gevormd door witte lijnen over de ruggen van drie vlak bij elkaar gelegen verschillend gekleurde visjes? En dat de hoekensom kleiner is dan 180 graden?
Dit is een model van een hyperbolische meetkunde. Het parallellenpostulaat wordt hier vervangen door het postulaat dat door een punt A buiten BC meer dan één 'rechte lijn' gaat die evenwijdig is aan BC. In de hyperbolische meetkunde is de som der hoeken in een driehoek altijd kleiner dan 180 graden.

3) Enige speculaties

Het schijnt dat ons heelal nog steeds uitdijt als gevolg van de oerknal. Dit blijkt uit het feit dat verder weg gelegen sterren door het Doppler-effect een grotere roodverschuiving vertonen in het kleurenspectrum.
Tot voor een jaar of veertig dachten de sterrenkundigen dat hun berekeningen het beste overeenkwamen met de waarnemingen indien ze voor de cosmos een elliptisch (gesloten) model hanteerden. In dit model, dat Einstein toepast in zijn algemene relativiteitstheorie, zal de uitdijing van het heelal uiteindelijk stoppen en overgaan in krimping. Hierbij beschouwt men de cosmos als een soort dynamische super-bol in ruimte-tijd. De cosmos is 'positief gekromd' (zie het plaatje, dat een tweedimensionaal equivalent geeft). Indien we ons steeds in een 'rechte lijn' over deze superbol zouden blijven voortbewegen met de snelheid van het licht, zouden we na ruim dertig miljard jaar weer terugkeren op ons uitgangspunt. ((Een 'rechte lijn' is hier de reeks ruimte-tijd events van een lichaam in vrije val.))
Tegenwoordig hanteren andere sterrenkundigen liever een hyperbolisch (open) model, waarin de cosmos 'negatief gekromd' is. De uitdijing zal volgens hen nooit stoppen. Het gaat er om of de totale hoeveelheid massa in het heelal een bepaalde kritische waarde wel of niet overschrijdt.
Het euclidisch (plat) model maakt overigens een merkwaardige come-back volgens nieuwe inzichten die aangeven dat de totale hoeveelheid massa wel eens precies gelijk zou kunnen zijn aan de kritische waarde.

Als er een oerknal is geweest, dan moet die een oorzaak hebben gehad. Maar ook zonder oerknal vraagt het heelal om een externe oorzaak.
Als u in God gelooft, dan kunt u zich voorstellen dat Hij de hele ruimte-tijd in stand houdt zolang het Hem goeddunkt, inclusief oerknal en geschiedenis en (eventueel) collaps.

Literatuur

Wikipedia onder 'non-euclidean geometry' en 'big bang'
Euclid's Elements (heel uitgebreid, en niet gemakkelijk)
Niet-Euclidische Meetkunde, prof dr G Verriest, KCT Streven 1948
The Geometry of the Universe
The Ontology and Cosmology of Non-Euclidean Geometry