click here to go back to my homepage The writer of this article has investigated (in the years from 1973 to 1977), among other
things, a number of special cases with e=2 (see (C)).
2.1 --- 1 + n(q-1) + (n(n-1)/2)(q-1)2 divides qn (the sphere packing condition), and 2.2 --- (n-x)(n-x-1)(q-1)2 - 2(n-x)(x-1)(q-1) + (x-1)(x-2) has two different integral zeroes greater than 0 and smaller than n+1 (the polynomial condition). Our research concentrates on these two conditions.
Notice that (n,q)=(11,3) satisfies the conditions (the 'Golay parameters', see (B)). Of course this holds for (2,2) as well (trivial code) and for (5,2) (repetition code). Other solutions with e=2 and n>5 have never been found. We want to prove that no other solutions exist. (3.1) --- q2 y2 - (q2 - 4q + 2nq)y + (n-1)(n-2) has two integral zeroes y1 en y2, and (3.2) --- y1 + y2 = 1 + 2(n-2)/q en y1 y2 = (n-1)(n-2)/q2. We continue with odd q; this is the simplest case with regard to (3.2).
(3.3) --- n = 2 + k q2. The discriminant of (3.1) is then (3.4) --- k(q-1) = m(m+1). Using (3.3) and (3,4), the sphere packing condition (2.1) becomes (3.5) --- 1 + (1/2)m(m+1)(3q - 1 + m(m+1)q2) divides qn (with m=1 and q=3 we get the Golay parameters).
(3.6) --- q is smaller than 2(m+1)2. for odd q, the conditions (3.5) and (3.6) are nearly as strong as (2.1) and (2.2). But what can we do with them? (4.1) --- p divides m(m+1) - 2 (and p is not equal to 2, because q is odd). For given m we now find in some cases that the left hand side of (3.5) must be a prime power. This follows from the following list of possible pairs (m,p): (4.2) ---
For example, with m=7 we find (4.3) --- (-33) + (22 3 7 q) + (25 72 q2) = 32 (q a natural number smaller than 128), and we can check that such q doesn't exist. Thus we see that for each fixed m the research is easy (for fixed q it is more difficult,
see (C)).
So it remains possible that our question will become in future a very old one indeed. (B) JH van Lint : Coding Theory; Springer Verlag Berlin etc 1973 (C) HFH Reuvers : Some Non-existence Theorems For Perfect Codes Over Arbitrary Alphabets;
|
klik hier om terug te gaan naar mijn hoofdpagina De schrijver van dit artikel heeft van 1973 tot 1977 onder meer een aantal speciale
gevallen met e=2 onderzocht (zie (C)).
2.1 --- 1 + n(q-1) + (n(n-1)/2)(q-1)2 deelt qn (de bolpakkingsvoorwaarde), en 2.2 --- (n-x)(n-x-1)(q-1)2 - 2(n-x)(x-1)(q-1) + (x-1)(x-2) heeft twee verschillende gehele nulpunten groter dan 0 en kleiner dan n+1 (de polynoomvoorwaarde). Het onderzoek concentreert zich op deze twee voorwaarden.
Merk op dat (n,q)=(11,3) voldoet (de 'Golay parameters', zie (B)). Natuurlijk voldoen ook (2,2) (triviale code) en (5,2) (repetitiecode). Er zijn nooit andere oplossingen met e=2 en n>5 gevonden. We willen graag bewijzen dat er geen andere zijn. (3.1) --- q2 y2 - (q2 - 4q + 2nq)y + (n-1)(n-2) heeft twee gehele nulpunten y1 en y2, waarbij (3.2) --- y1 + y2 = 1 + 2(n-2)/q en y1 y2 = (n-1)(n-2)/q2. We gaan voortaan uit van oneven q, het eenvoudigste geval mbt (3.2).
(3.3) --- n = 2 + k q2. De discriminant van (3.1) is dan (3.4) --- k(q-1) = m(m+1). Met (3.3) en (3,4) gaat de bolpakkingsvoorwaarde (2.1) dan over in (3.5) --- 1 + (1/2)m(m+1)(3q - 1 + m(m+1)q2) deelt qn (voor m=1 en q=3 krijgt men de Golay parameters).
(3.6) --- q is kleiner dan 2(m+1)2. Voor oneven q zijn de voorwaarden (3.5) en (3.6) ongeveer even sterk als (2.1) en (2.2). Maar wat kan men er mee? (4.1) --- p deelt m(m+1) - 2 (en p is niet 2, omdat q oneven is). Voor gegeven m krijgt men nu soms de eis dat het linkerlid van (3.5) een priemmacht is. Dit blijkt uit het volgende lijstje van mogelijke combinaties (m,p): (4.2) ---
Bijvoorbeeld, voor m=7 vindt men (4.3) --- (-33) + (22 3 7 q) + (25 72 q2) = 32 (q een natuurlijke getallen kleiner dan 128), en men controleert dat zo'n q niet bestaat. Aldus is het onderzoek voor elke vaste m eenvoudig (voor vaste q is het moeilijker, zie ook
(C)).
Het is dus mogelijk dat de kwestie in de toekomst een heel oude kwestie zal worden. (B) JH van Lint : Coding Theory; Springer Verlag Berlin etc 1973 (C) HFH Reuvers : Some Non-existence Theorems For Perfect Codes Over Arbitrary Alphabets;
|