click here to go back to my homepage


ABOUT THE DIOPHANTINE EQUATION
RST=N(R+S+T)
(memorandum 1-2000 by dr HFH Reuvers)


a b s t r a c t : In this paper we show how to find for any given small natural number n all natural numbers t,s,r with
rst=n(r+s+t). We also specify at least two solutions for each natural number n.


I n t r o d u c t i o n


Let n be a natural number and let f(n) be the number of triples of natural numbers t,s,r with
(1) rst = n (r+s+t).
Unsolved problem O 10745 of the American Mathematical Monthly asks for the function f(n) .

----------

F i r s t A p p r o a c h


We assume without loss of generality
(2) t <= s <= r .
Then for solutions of (1) we have
(3) 3nt <= rst <= 3nr.
Hence we find
(4) 3n <= rs <= r2 , so r >= sqrt(3n), and
(5) t2 <= st <= 3n , so t <= sqrt(3n).
Moreover, from (1) we find
(6) r (st-n) = n (s+t) .
Hence we have
(7) st >= n+1 , which yields with (5)
(8) (n+1)/t <= s <= (3n)/t.
For any fixed natural number r, say r=c, we have in the t,s-plane the iso-r-curve
(9) s = (nc+nt)/(ct-n) (a part of a hyperbola),
where from (2)
(10) t <= s <= c, and hence from (9) and (10)
(11) (2nc)/(c2-n) <= t <= n/c + sqrt(n+n/c2) .
We can now draw the following picture (the solutions of (1) correspond to the points (t,s) with natural t and s that lie on one of the indicated parts of a hyperbola).

klik hier om naar mijn hoofdpagina te gaan


OVER DE DIOPHANTISCHE VERGELIJKING
RST=N(R+S+T)
(memorandum 1-2000 door dr HFH Reuvers)


s a m e n v a t t i n g : In dit artikel laat ik zien hoe we bij elk gegeven klein natuurlijk getal n alle natuurlijke t,s,r vinden met
rst=n(r+s+t). Voor elk natuurlijk getal n noem ik tenminste twee oplossingen.


I n l e i d i n g


Laat n een natuurlijk getal zijn, en f(n) het aantal drietallen t,s,r van natuurlijke getallen met
(1) rst = n (r+s+t).
Het onopgeloste probleem O 10745 van de American Mathematical Monthly vraagt naar de functie f(n) .

----------

E e r s t e A a n p a k


We nemen aan zonder verlies van algemeenheid
(2) t <= s <= r .
dan hebben we voor oplossingen van (1)
(3) 3nt <= rst <= 3nr.
Zo vinden we
(4) 3n <= rs <= r2 , dus r >= wortel(3n), en
(5) t2 <= st <= 3n , dus t <= wortel(3n).
Verder vinden we met (1)
(6) r (st-n) = n (s+t) .
Dus hebben we
(7) st >= n+1 , wat met (5) geeft
(8) (n+1)/t <= s <= (3n)/t.
Voor elk vast natuurlijk getal r, zeg r=c, hebben we in het t,s-vlak de iso-r-curve
(9) s = (nc+nt)/(ct-n) (een deel van een hyperbool),
waarbij met (2) volgt
(10) t <= s <= c, en daarom met (9) en (10)
(11) (2nc)/(c2-n) <= t <= n/c + sqrt(n+n/c2) .
We kunnen nu het volgende plaatje tekenen (de oplossingen van (1) corresponderen met de punten (t,s) met natuurlijke t en s op een van de aangegeven parabooldelen).


On the iso-r-curve r=c we see that s is maximal when t is minimal. So we find from (10) and (11)
(12) s <= n/t + sqrt(n + n2/t2).
With (8) this yields
(13) (n+1)/t <= s <= n/t + sqrt(n + n2/t2) .
Since c is greater when the iso-r-line runs more to the left in the picture, we find the maximum value of c in (t,s) = (1,n+1) : r=c=n(n+2). So with (4) we find
(14) sqrt(3n) <= r <= n(n+2) .
We now find from (13)
<15> If t=1 then n+1 <= s <= n + sqrt(n+n2).
Hence we find after trial:
(16) (1, n+1, n(n+2) ) and (1, 2n, 2n+1) are solutions of (1) for any natural n.
And again, looking in the other corners of the picture :
(17) If 3n is a square then (sqrt(3n), sqrt(3n), sqrt(3n)) is a solution of (1).
.......If n+1 is a square then (sqrt(n+1), sqrt(n+1), 2n sqrt(n+1) ) is a solution of (1).


With (2), (5), (13) and (14), and looking at the picture, we find that the following BASIC program yields for any given small n all solutions of (1):
10 INPUT N
20 FOR T=1 TO INT(SQRT(N+1))
30 FOR S=INT((N+1)/T) TO INT(N/T+SQRT(N+N*N/(T*T)))
40 FOR R=S TO N*(N+2)
50 IF R*S*T=N*(R+S+T) THEN PRINT T,S,R
60 NEXT R
70 NEXT S
80 NEXT T
90 FOR T=INT(SQRT(N+1)) TO INT(SQRT(3*N))
100 FOR S=T TO INT(N/T+SQRT(N+N*N/(T*T)))
110 FOR R=S TO N*(N+2)
120 IF R*S*T=N*(R+S+T) THEN PRINT T,S,R
130 NEXT R
140 NEXT S
150 NEXT T


For instance, for n=10 we have the following table of solutions (t,s,r):
(1,11,120), (1,12,65), (1,15,32), (1,20,21), (2,6,40), (2,10,12), (3,4,35), (3,5,16), (4,5,9)
and therefore f(10)=9.
We can now construct the following table of values f(n) with 1<=n<=12 by running the program 12 times:
n:....1....2....3....4....5....6....7....8....9...10...11...12
f:....1....2....5....5....8....8....8...14...13....9...14...17

click here to go back to my homepage


Op de iso-r-curve r=c zien we dat s maximaal is als t minimaal is. Dus vinden we met (10) en (11)
(12) s <= n/t + wortel(n + n2/t2).
Met (8) levert dit
(13) (n+1)/t <= s <= n/t + wortel(n + n2/t2) .
Omdat c groter is naarmate de iso-r-lijn meer links op het plaatje loopt, vinden we de maximale waarde van c in (t,s) = (1,n+1) : r=c=n(n+2). Dus vinden we met (4)
(14) wortel(3n) <= r <= n(n+2) .
We vinden nu met (13)
<15> Als t=1 dan n+1 <= s <= n + wortel(n+n2).
Daarna vinden we met proberen:
(16) (1, n+1, n(n+2) ) en (1, 2n, 2n+1) zijn oplossingen van (1) voor elke natuurlijke n.
Zo ook, kijkend naar de andere hoeken van het plaatje :
(17) Als 3n een kwadraat is, dan is (wortel(3n), wortel(3n), wortel(3n)) oplossing van (1).
.......Als n+1 kwadraat is, dan is (wortel(n+1), wortel(n+1), 2n wortel(n+1) ) oplossing van (1).


Met (2), (5), (13) en (14), en kijkend naar het plaatje, vinden we dat het volgende BASIC program voor elk gegeven klein natuurlijk getal n alle oplossingen van (1) geeft:
10 INPUT N
20 FOR T=1 TO INT(SQRT(N+1))
30 FOR S=INT((N+1)/T) TO INT(N/T+SQRT(N+N*N/(T*T)))
40 FOR R=S TO N*(N+2)
50 IF R*S*T=N*(R+S+T) THEN PRINT T,S,R
60 NEXT R
70 NEXT S
80 NEXT T
90 FOR T=INT(SQRT(N+1)) TO INT(SQRT(3*N))
100 FOR S=T TO INT(N/T+SQRT(N+N*N/(T*T)))
110 FOR R=S TO N*(N+2)
120 IF R*S*T=N*(R+S+T) THEN PRINT T,S,R
130 NEXT R
140 NEXT S
150 NEXT T


Bijvoorbeeld, voor n=10 hebben we de volgende oplossingen (t,s,r):
(1,11,120), (1,12,65), (1,15,32), (1,20,21), (2,6,40), (2,10,12), (3,4,35), (3,5,16), (4,5,9)
en dus is f(10)=9.
We kunnen nu de volgende tabel construeren met waarden f(n) voor 1<=n<=12 door het programma 12 keer te runnen:
n:....1....2....3....4....5....6....7....8....9...10...11...12
f:....1....2....5....5....8....8....8...14...13....9...14...17

klik hier om naar mijn hoofdpagina te gaan