CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK ZEVEN


Om ongelijkheden tussen segmenten te definiëren hebben we het afstandsbegrip niet nodig: [AB] is 'korter' dan [CD] (notatie [AB] < [CD]) als een punt E tussen C en D bestaat met [AB] ≅ [CE].
Zo is ook het begrip hoekmaat niet nodig om ongelijkheden tussen hoeken te definiëren: ∠ABC < ∠DEF als er punt G binnen ∠DEF is zo dat ∠ABC ≅ ∠GEF.

Als A-C-D, en B ligt niet op lijn ←CD→, dan heet ∠BCD een 'buitenhoek' van ΔABC.

Hier heten ∠A en ∠B de 'verwijderde binnenhoeken van ΔABC mbt ∠BCD'.

Stelling 7.1 : Een buitenhoek van een driehoek is groter dan elk van beide verwijderde binnenhoeken.

Ofwel: Als A-C-D, en B ligt niet op lijn ←CD→, dan ∠CBA < ∠BCD.

Bewijs:

Zij E het middenpunt van [BC], en F het punt met A-E-F en [EA]≅[EF].
Omdat ook ∠AEB≅∠FEC (waarom?), is ΔAEB≅ΔFEC (zhz).
Dus ∠CBA≅∠BCF.
Maar F ligt binnen ∠BCD (stelling 4.3), dus ∠BCF < ∠BCD.

gevolg : als l een lijn is, en P een punt niet op l, dan is de 'loodlijn vanuit P op l' (vgl stelling 6.6) uniek.

Stelling 7.2 : Gegeven ΔABC. Als [AC]<[AB] dan ∠B<∠C, en omgekeerd. ('De grotere hoek ligt tegenover de langere zijde.')

Bewijs:
1) Stel [AC]<[AB]. Laat D op straal [AC→ liggen zo dat [AD]≅[AB] (dus A-C-D). Dan ∠ABD≅∠ADB (stelling 6.1).
Omdat C binnen ∠ABD ligt, is ∠B=∠ABC<∠ABD. Anderzijds is ∠ADB<∠C (stelling 7.1). Dus ∠B<∠C.

2) Stel ∠B<∠C. Als [AC]≅[AB] dan ∠B≅∠C (stelling 6.1). Als [AB]<[AC] dan ∠C<∠B (zie 1) ). Dus [AC]<[AB].

OPGAVE 10: Gegeven een lijn l en een punt P buiten l. Bewijs dat een segment met eindpunt P en eindpunt op l het kortst is als het loodrecht op l staat. Noem alle stellingen die u gebruikt.


Stelling 7.3 ('driehoeksongelijkheid'):
Als A, B en C niet collineair zijn, dan AC < AB + BC.

Bewijs: Zij D het punt met C-B-D en BD=BA.


B ligt binnen ∠DAC, dus ∠DAB<∠DAC. Maar ∠DAB≅∠BDA (6.1), dus ∠BDA<∠DAC.
Volgens 7.2 is AC kleiner dan DC=AB+BC.


Stelling 7.4: Gegeven ΔABC en ΔDEF. Als [AB]≅[DE]], [AC]≅[DF] en ∠A is groter dan ∠D, dan is [BC] groter dan [EF].


Bewijs:
1) Er is K binnen ∠BAC zo dat ΔAKC≅ΔDEF: omdat ∠A groter is dan ∠D, is er Q binnen ∠BAC zo dat ∠QAC≅∠DEF. Neem K op straal [AQ→ zo dat [AK]≅[DE]. Dan ΔAKC≅ΔDEF (zhz).


2) Zij [AR→ de tweedeler van ∠BAK. Volgens de kruisstelling snijden [AK→ en [AR→ segment [BC] (snijpunten L en M resp). Dan ΔAMB≅ΔAMK (zhz), dus [MB]≅[MK].

3) EF=KC is kleiner dan MK+MC=BM+MC=BC (zie 7.3).


Stelling 7.5 (zhh): ΔABC≅ΔDEF als ∠A≅∠D, ∠B≅∠E en [BC]≅[EF].

Bewijs: Zij P het punt op straal [BA→ met [DE]≅[PB]. Dan ΔCBP≅ΔFED (zhz), dus ∠CPB≅∠FDE≅∠CAB.


Als P=A, dan ΔCBA≅ΔFED, klaar.
Als A-P-B, dan is ∠CPB groter dan ∠CAB (stelling 7.1), tegenspraak.
Als P-A-B, dan is ∠CAB groter dan ∠CPB (stelling 7.1), tegenspraak.

OPGAVE 11: Ga precies na welke axioma's en stellingen in de bewijzen van hoofdstuk zeven wel gebruikt maar niet genoemd zijn.

OPGAVE 12: Beschouw het bolmodel van de 'elliptische' meetkunde:
'punten' zijn puntenparen op de bol waarvan de verbindingslijn door het middelpunt gaat, 'lijnen' zijn grote cirkels op de bol.
Ga na aan welke axioma's en stellingen die we tot nu toe gehad hebben voldaan is. Probeer de diverse begrippen zo veel mogelijk te behouden, eventueel met kleine aanpassingen.



HOME