CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK ZESTIEN


We zullen nu nog een scherpere blijk werpen op de modellen van Klein voor elliptische en hyperbolische meetkunde (die we gedeeltelijk al kennen).


ELLIPTISCHE MEETKUNDE: Neem voor het 'elliptische vlak' de bol in ℜ3 met middelpunt O en straal 1; een 'elliptisch punt' is een antipodaal puntenpaar op de bol (dwz de verbindingslijn in ℜ3 gaat door het middelpunt van de bol); een 'elliptische lijn' is een grote cirkel op de bol.

Voor een elliptisch punt P neemt men 'elliptische coördinaten' λ(p1,p2,p3) (dit is een vectorvoorstelling van de verbindingslijn in ℜ3 door de twee antipodale punten die samen P vormen); voor een elliptische lijn l neemt men 'elliptische coördinaten' λ(l1,l2,l3) (dit is een vectorvoorstelling van de lijn door O in ℜ3 loodrecht op het vlak van de bijbehorende grote cirkel).

Definieer voor elliptische punten P en Q de 'elliptische afstand' d(P,Q) := de lengte van de kleinste cirkelboog tussen een representant van P en een representant van Q op de grote cirkel die beide antipodale puntenparen bevat. In formule:
d(P,Q) = arccos( (p1q1+p2q2+p3q3)/(√(p12+p22+p32) √(q12+q22+q32))).
Er geldt dus 0 ≤ d(P,Q) ≤ π/2. Is aan het meetlataxioma voldaan?

Definieer voor elliptische lijnen l en m: l staat loodrecht op m precies dan als het vlak van de grote cirkel l in ℜ3 loodrecht staat op het vlak van de grote cirkel m in ℜ3, dus als l1m1+l2m2+l3m3=0. Merk op dat dit overeenkomt met euclidische hoekmeting tussen grote cirkels op de bol.

Repeteer wat u eerder over dit model geleerd hebt.

OPGAVE 30: Een vlak door O in ℜ3 en zijn normaal door O definiëren een elliptische lijn l en een elliptisch punt P die 'poolverwant' heten (P heet 'pool' van l, l heet 'poollijn' of 'evenaar' bij P). Ga na:
a) Elke elliptische lijn door P staat loodrecht op l.
b) De elliptische lijn l bestaat uit de punten op afstand π/2 van P.
(Op grond van a) en b) kan l dus ook een 'elliptische cirkel' met middelpunt P genoemd worden.)


HYPERBOLISCHE MEETKUNDE: Neem voor het 'hyperbolische vlak' de cirkelschijf {x3=1 ∧ x12+x22<1} in ℜ3; een 'hyperbolisch punt' is een elliptisch punt dat binnen die schijf ligt; een 'hyperbolische lijn' is een euclidische lijn in het vlak x3=1, voor zover gelegen binnen die schijf.

Repeteer wat u al over dit model geleerd hebt.

Voor een hyperbolisch punt P neemt men 'hyperbolische coördinaten λ(p1,p2,p3) (dit is een vectorvoorstelling van de lijn door O en P in ℜ3); voor een hyperbolische lijn l neemt men 'hyperbolische coördinaten' λ(l1,l2,l3) (dit is een vectorvoorstelling van de lijn door O in ℜ3 die loodrecht staat op het vlak door O en l).

Definieer nu voor hyperbolische punten P en Q de 'hyperbolische afstand' d(P,Q) door:
d(P,Q) = arccosh( |(p3q3-p1q1-p2q2)|/(√(p32-p12-p22) √(q32-q12-q22))).

OPGAVE 31: Bewijs dat de hyperbolische afstand welgedefinieerd en symmetrisch is, en dat geldt: [d(P,Q)≥0] ∧ [(d(P,Q)=0↔(P=Q)]. Laat ook zien dat het hyperbolische vlak, hyperbolisch gemeten, oneindig groot is. Is aan het meetlataxioma voldaan?

Definieer voor hyperbolische lijnen l en m 'hyperbolische orthogonaliteit' als volgt: l staat loodrecht op m als l3m3-l1m1-l2m2=0.

OPGAVE 32: Reken na dat in het volgende plaatje elke lijn "door P" hyperbolisch orthogonaal is met l:

De hoekmeting gebeurt hier dus niet op de euclidische manier.
Is het resultaat van deze opgave strijdig met stelling 7.1 en zijn gevolg?


Bestudeer nu zelf nog een onderwerp uit de literatuur over niet-euclidische meetkunde. Veel plezier.
(Voor een populaire invalshoek, zie hier.)


HOME