CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK VIJFTIEN


We zullen nu constructies gaan uitvoeren in het hyperbolische vlak.
Dit moet 'met hyperbolische passer en lineaal (en eventueel gradenboog)', dus een constructiestap is altijd één van de volgende constructiestappen:

ofwel het kiezen van een willekeurig hyperbolisch punt of het trekken van een willekeurige hyperbolische lijn;
ofwel het verbinden van twee hyperbolische punten door een hyperbolische lijn of het vinden van het hyperbolisch snijpunt van twee hyperbolische lijnen;
ofwel het trekken van een h-cirkel met gegeven h-middelpunt door een gegeven h-punt, of het afpassen op een h-lijn van een h-segment congruent met een gegeven h-segment;
ofwel het vinden van het h-snijpunt van zo'n h-cirkel met een andere h-cirkel of met een h-lijn;
of eventueel het afpassen van een hoek met een gegeven h-been in een gegeven h-hoekpunt met een ideale gradenboog.
De actuele hulpmiddelen waarmee we deze constructiestappen verrichten, doen niet ter zake.

We hebben in het hyperbolische vlak van Poincaré al enkele constructies uitgevoerd, maar nog niet op de boven omschreven manier. Hier volgt een lijst van deze constructies met verwijzing naar de bijbehorende 'euclidische' werkwijze;
1) het construeren van de h-lijn door twee gegeven h-punten (snijd de e-middelloodlijn van deze punten met de x-as om het middelpunt van de e-cirkel te vinden waarvan de bovenste helft de gevraagde h-lijn is);
2) het spiegelen van een h-punt in een h-lijn (zie §12);
3) het vinden van de h-middelloodlijn van een gegeven h-segment (zie §13);
4) het afpassen op een gegeven h-lijn van een h-segment congruent met een gegeven h-segment (zie §13);
5) het construeren van een h-lijn loodrecht op elk van twee gegeven hyperparallellen (zie §14);
6) het construeren van een h-cirkel met een gegeven h-middelpunt door een gegeven h-punt (zie §14);
7) het vinden van het h-middelpunt van een gegeven h-cirkel.

OPGAVE 27:
Repeteer de boven genoemde constructies (met de euclidische werkwijze).


In de hyperbolische werkwijze zijn de constructies 1), 4) en 6) basismateriaal. Deze drie basisconstructies mogen op de e-manier worden uitgevoerd.


Voorbeeld: het trekken van een loodlijn door een gegeven punt P op een gegeven lijn g die niet door P gaat.
We doen eerst de e-werkwijze in het h-vlak van Poincaré, dan de e-werkwijze in het e-vlak, tenslotte de 'echte' h-werkwijze in het h-vlak (van Poincaré, maar deze laatste werkt in elk model van een h-vlak).

1, De e-werkwijze in het h-vlak van Poincaré;

De h-lijn door P loodrecht op g is de e-cirkelboog door P met e-middelpunt T. Deze staat immers loodrecht op alle e-cirkels van de elliptische bundel door U en V.

2. De e-werkwijze in het e-vlak ('met euclidische passer en lineaal'):

Trek een e-cirkel met e-middelpunt P die g snijdt in A en B;
trek twee e-cirkels met e-middelpunten A en B door B en A (resp.) die elkaar snijden in Q;
de e-verbindingslijn ←PQ→ is de gevraagde e-loodlijn.

3. De h-werkwijze in het h-vlak ('met hyperbolische passer en lineaal'): dezelfde procedure als in 2., maar nadat in het recept overal "e-" door "h-" is vervangen.
Zo'n vertaling van e- naar h-recept kan voor alle constructieproblemen binnen de absolute meetkunde.


OPGAVE 28: Voer de h-constructies 2), 3) en 7) uit.


Nu nog het hyperbolische constructieprobleem 5), waarvoor geen euclidische 'parallelle constructie' bestaat: de h-constructie van de gemeenschappelijke loodlijn op twee gegeven hyperparallellen.
Deze maakt gebruik van het feit dat in een Saccheri-vierhoek de lijn door de middens van basis- en bovenzijde loodrecht op deze beide zijden staat.

OPGAVE 29: Bewijs dit.

Tevens maakt de constructie gebruik van een 'ideale gradenboog' om een hoek te construeren die congruent is met een gegeven hoek.
We voeren haar uit in het model van Poincaré:.

Zie het hierna volgende plaatje.

Gegeven a en b. Kies A en C op a. Construeer loodlijnen vanuit A en C op b, met voetpunten B en D respectievelijk. Kies E in [AB] zo dat [CD] ≅ [EB]. Construeer hoek α2 congruent met hoek α1.
Vind F. Kies G op a zo dat [CG] ≅ [EF]. Construeer loodlijnen uit F en G op b met voetpunten H en J.
Dan is vierhoek EBFH congruent met vierhoek CDGJ, dus [FH] ≅ [GJ]. Dus is vierhoek FGHJ een Saccheri-vierhoek.
De h-lijn die de midpunten van [FG] en [HJ] verbindt, is dus de gevraagde lijn.


HOME