CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK EEN


Wat is een bewijs? Laten we eens kijken naar een bewijs van de stelling van Pythagoras. Bekijk de volgende constructie:



Laat c:=HG.
We vinden dan, door naar de oppervlakten van rechthoeken en driehoeken in de figuur te kijken:
(a+b)2 = c2 + 4*(ab/2), dus a2 + b2 = c2.

Maar waarom is HE = EF = FG = GH ? En waarom zijn de hoeken van HEFG recht?

Om de eerste vraag te beantwoorden, zou men de volgende stelling kunnen poneren: als voor twee driehoeken ABC en DEF geldt AB=DE, BC=EF, en ∠B = ∠E (zhz), dan zijn de driehoeken congruent. Deze stelling moet dan wel nog bewezen worden, uitgaande van nog eenvoudiger feiten. Ga na hoe men met deze stelling bewijst HE = EF = FG = GH.

Om de tweede vraag te beantwoorden, zou men kunnen stellen: de som van de hoeken in een driehoek is 180 graden.



Immers, snijdt een lijn twee evenwijdige lijnen, dan maakt hij met beide gelijke hoeken. En overstaande hoeken zijn gelijk.
Dat moet allemaal bewezen worden uit eenvoudiger feiten.

Waar moet men nu beginnen bij de opbouw van zo'n bewijs?

Pascal heeft gezegd: "Men moet niet iets willen bewijzen dat zo vanzelfsprekend is dat er geen vanzelfsprekender feiten zijn waarmee men het zou kunnen bewijzen". En ook: "Men moet geen begrip willen definiëren waar iedereen een helder beeld van heeft, tenzij de definitie gebruik maakt van nog helderder begrippen".
Maar er zijn veel vanzelfsprekende feiten waar men van uit zou kunnen gaan. En de intuïtie kan ons gemakkelijk bedriegen. Voorbeeld:



Een driehoek met drie rechte hoeken op de aardbol.
Vindt u dat de zijden geen rechte lijnen zijn? Geef dan zelf maar eens een definitie van 'rechte lijn'.

Euclides: "Een rechte lijn ligt gelijkelijk met zijn punten op zichzelf" (?)
Een betere definitie: "Een rechte lijn is de kortste weg tussen twee punten". Maar op een bol is de kortste weg tussen twee punten een deel van een grote cirkel van die bol.

Men moet de grondbegrippen en beginstellingen (axioma's) dus zeer zorgvuldig kiezen.
Men moet niet te weinig axioma's kiezen, want dan kan men niet alle stellingen bewijzen die men bewijzen wil.
Men moet ook niet te veel axioma's kiezen. Als men een axioma met behulp van de andere kan bewijzen, kan men het weglaten.

Om een beter begrip te krijgen van wat een axiomastelsel is, en wat men er mee kan doen, zullen we een formeel systeem bekijken in de propositielogica.


Ik ga er van uit dat u weet hoe men met uitspraken P, Q, ... , en voegtekens ∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, zinnen maakt. Dit zijn de 'welgevormde formules' van ons formeel systeem.
Zo'n formule heet 'altijdwaar' als de waarheidstabel alleen enen bevat, en 'nooitwaar' als de waarheidstabel alleen nullen bevat.


Axioma's:
1) alle zinnen van de vorm A∧¬A, waarbij A een zin is;
2) alle zinnen ¬(A⇒(B⇒A)), waar bij A en B zinnen zijn.


Afleidingsregels:
1) als A en B stelling zijn, dan is (¬A)⇒B stelling;
2) als in een stelling een zinsdeel ¬¬A voorkomt, mag men dat door A vervangen: het resultaat is weer een stelling.


De axioma's zijn nooitwaar en de afleidingsregels voeren nooitware formules over in nooitware formules (ga dit na). Alle stellingen zijn dus nooitwaar: het systeem is 'consistent met interpretatie nooitwaar'.


We kunnen nu bijvoorbeeld afleiden: (P⇒(P⇒P))⇒((P⇒P)∧¬(P⇒P)).
Dit gaat als volgt: (we plaatsen zo nodig extra haakjes)

stap 1): (P⇒P)∧¬(P⇒P) (met axiomaschema 1)
stap 2): ¬(P⇒(P⇒P)) (met axiomaschema 2)
stap 3): (¬¬(P⇒(P⇒P)))⇒((P⇒P)∧¬(P⇒P)) (met de resultaten van stap 1 en stap 2, en afleidingsregel 1)
stap 4): (P⇒(P⇒P))⇒((P⇒P)∧¬(P⇒P)) (met het resultaat van stap 3, en afleidingsregel 2).


Het systeem is echter niet 'volledig' bij de interpretatie 'nooitwaar', want ¬(P∨¬P) voldoet aan de interpretatie, maar is geen stelling van het systeem (waarom niet?).


In de euclidische meetkunde zijn de 'welgevormde formules' bepaalde in gewone taal gestelde beweringen over meetkunde. De definities en axioma's zullen we in de komende weken formuleren.
Het is de bedoeling dat de stellingen voldoen aan de interpretatie 'ware bewering'. De afleidingsregels zijn de gewone logische denkregels.
Het geheel is een zeer streng systeem, maar toch niet zo formeel als systemen van de propositielogica. Deze verlaten we na nog een opgave.


OPGAVE 1
Beschouw het volgende formele systeem:

Welgevormde formules zijn de zinnen van de propositielogica.

Axiomaschema's: (A en B stellen zinnen voor)
1) A∨¬A
2) A∧¬A
3) A⇔¬A
4) (A⇒B)⇔(¬B⇒¬A);

afleidingsregels:
1) als A en B stelling zijn, is ook A⇒B stelling
2) als A⇔B en A stelling zijn, is ook B stelling.


a) Geef een afleiding van ¬((P∧Q)∧¬(P∧Q)) ⇒ ¬((P∧Q)∨¬(P∧Q)). Motiveer elke stap.

b) Beredeneer: als Z stelling is, dan is ¬Z stelling.

c) Beredeneer dat het systeem consistent is met interpretatie 'Z is ofwel altijdwaar ofwel nooitwaar'.

d) Beredeneer dat het systeem niet volledig is met de interpretatie als in c).


HOME