U weet allemaal dat de wortels van ax2 + bx + c (a,b,c complexe getallen),
gevonden worden met
x = (-b + w2(b2 - 4ac))/(2a) (waar w2(D) elk complex getal voorstelt waarvan het
kwadraat D).
Sinds de middeleeuwen hebben Europese wiskundigen gezocht naar soortgelijke oplossingen
door wortelvoorstellingen van
anxn + an-1xn-1 + ... +
a1x + a0 = 0 (ak reëel of complex, n>2),
ie uitdrukkingen waarin voorkomen: ak (k=0,1,..,n-1,n) en worteltekens wm (waar wm(D)
elk complex getal voorstelt waarvan de m-de macht D is).
In de zestiende eeuw hebben Italiaanse wiskundigen (Tartaglia, Cardano, Ferrari, del Ferro)
algemene wortelvoorstellingen gevonden voor
ax3 + bx2 + cx + d = 0, en
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.
Bijna drie eeuwen later bewees Niels Hendrik Abel dat zo'n algemene oplossing onmogelijk is
als n=5.
Kort daarna vond Evariste Galois zijn beroemde theorie uit, en publiceerde die voordat
hij stierf in een gevecht, 21 jaar oud.
Hij bewees dat een algemene oplossing door wortelvoorstellingen niet mogelijk is als n>4.
We zullen proberen zicht te krijgen op de hedendaagse vorm van zijn ideeën die de
grondslag vormden voor de groepentheorie.
We zullen eerst enkele concepten en ideeën van de Galois-theorie introduceren
met een voorbeeld.
Ik moet benadrukken dat deze lezing niet ingaat op enig existentieprobleem.
Voorbeeld: x3 - 2
Zij w3(2) de derdemachtswortel van 2, en eps=(-1+w2(3)*i)/2, dus 1 + eps + eps2 = 0.
Zij f(x) = x3 - 2 = (x - w3(2))(x - eps*w3(2))(x - eps2*w3(2)).
Zij K het lichaam voortgebracht door de rationale getallen en de coëfficiënts van f, dus K = Q.
Zij L het lichaam voortgebracht door K en de wortels van f, dus L = Q(w3(2),eps*w3(2),eps2*w3(2))
= Q(w3(2),eps).
L wordt genoemd het splijtlichaam van f.
Het is een 6-dimensionale vectorruimte over Q, met basis 1, eps, w3(2), eps*w3(2), w3(4),
eps*w3(4).
Verder geldt: de groep G van alle K-automorphismen van L (i.e. die de elementen van K
puntsgewijs invariant laten),
genaamd Galoisgroep van f, bevat eveneens 6 elementen:
e, die w3(2) afbeeldt op w3(2) en eps op eps,
s, die w3(2) afbeeldt op eps*w3(2) en eps op eps,
s2, die w3(2) afbeeldt op eps2w3(2) en eps op eps,
t, die w3(2) afbeeldt op w3(2) en eps op eps2,
t*s = s2*t, die w3(2) afbeeldt op eps2*w3(2) en eps op eps2,
t*s2 = s*t, die w3(2) afbeeldt op eps*w3(2) en eps op eps2.
Deze groep valt samen met de groep S3 van permutaties van w3(2), eps*w3(2) en eps2*w3(2), de wortels van f.
Merk op dat {e, s, s2} een normale ondergroep van G is, die Q(eps) puntgewijs
invariant laat. Het is de groep van Q(eps)-automorphismen van L.
Q(eps) wordt genoemd het invariantenlichaam van {e, s, s2}.
Verder is G/{e, s, s2} = {e, t} de groep van Q-automorphismen
van Q(eps).
Er zijn ook drie ondergroepen van G van orde 2:
i) {e, t}, met invariantenlichaam Q(w3(2));
ii) {e, s2*t}, met invariantenlichaam Q(eps*w3(2));
iii) {e, s*t}, met invariantenlichaam Q(eps2*w3(2)).
De volgende opmerking is zeer belangrijk:
Er bestaat een bijectieve afbeelding van de verzameling ondergroepen van G naar de
verzameling deellichamen van L die de inclusie-relatie omkeert. Bijvoorbeeld:
Q < Q(w3(2) < Q(eps,w3(2)) = L,
G > {e,t} > {e}.
Nog een voorbeeld: (x5 - 1)/(x - 1)
Zij f(x) = (x5 - 1)/(x - 1) = 1 + x + x2 + x3 + x4 =
(x - c)(x - c2)(x - c3)(x - c4),
waarbij c = cos(2*pi/5) + i * sin(2*pi/5), een primitieve vijfdemachts eenheidswortel.
Zij K:=Q en L:=K(c,c2,c3,c4) = Q(c).
L is het splijtlichaam van f. Het is een vectorruimte over Q, met basis 1,c,c2,
c3.
Zij Galoisgroep bevat eveneens 4 elementen:
e, die c afbeeldt op c;
s, die c afbeeldt op c2;
s2, die c afbeeldt op c4;
s3, die c afbeeldt op c3.
In dit geval is de Galoisgroep G een (cyclische) ondergroep van S4.
{e,s2} is de enige echte ondergroep van G.
Het is een normale ondergroep die Q(d) puntsgewijs invariant laat, waar d:=c + c4 =
cos(2*pi/5).
er geldt Q < Q(d) < Q(c) en G > {e,s2} > {e}.
Verder is G/{e,s2} de groep van Q-automorphismen van Q(d).
Meer algemeen geldt:
Zij f(x) een willekeurige polynoom met complexe coëfficiënten, van graad n en
zonder meervoudige wortels.
Zij K het lichaam voortgebracht door Q en de coefficiënten van f;
zij L het splijtlichaam van f.
Dan bestaat er een groep van K-automorphisms van L, waarvan K het invariantenlichaam is.
Het is een ondergroep van de groep Sn van permutaties van de wortels van f,
met evenveel elemenens als een basis van L over K.
Verder bestaat er een bijectieve afbeelding van de verzameling der deellichamen van L die K
bevatten op de verzameling der ondergroepen van G, die de inclusie-relatie omkeert en elke
ondergroep afbeeldt op zijn invariantenlichaam.
Schets van Galois' bewijs:
Stel nu dat elk nulpunt z van zulk een polynoom uitgedrukt kan worden in zijn
coëfficiënten door wortelvormen.
dit betekent dat er bestaat een rij lichaamsuitbreidingen K=K0 < K1 <
K2 < ... < Kr=L, waarbij Ki = Ki-1(oi) voor
zekere oi in Ki\Ki-1, met oipi
behorend tot Ki-1 voor een priemgetal pi
(zodat oi = o'i-11/pi voor zekere
o'i-1 in Ki-1,
merk op dat o'0 rationaal kan worden uitgedrukt in de coëfficiënten van
f).
Dan moet de Galoisgroep G van f(x) oplosbaar zijn:
er is een keten G=G0 > G1 > G2 > ... > Gr={e},
waarbij Gi een normale ondergroep is van Gi-1, en
Gi/Gi-1 cyclisch is van priemorde pi.
Aangezien Sn niet oplosbaar is als n>4, en er voor elke n polynomen van graad n bestaan met Galoisgroep Sn (dit is bijvoorbeeld waar als de nulpunten algebraïsch onafhankelijk zijn over Q), vinden we het beroemde resultaat van Abel en Galois.
Voorbeeld: de algemene veeltermvergelijking van graad 4
We gaan beginnen met het probleem van het door wortelvormen oplossen van x4 + p*x2 + q*x + r = 0.
Laten t1, t2, t3, t4 de complexe oplossingen zijn.
Omdat x4 + p*x2 + q*x + r =
(x - t1)(x - t2)(x - t3)(x - t4), vinden we:
0 = t1 + t2 + t3 + t4
p = t1t2 + t1t3 + t1t4
+ t2t3 + t2t4 + t3t4
-q = t1t2t3 + t1t2t4 +
t1t3t4 + t2t3t4
r = t1t2t3t4
Merk op dat deze uitdrukkingen, genaamd de elementaire symmetrische uitdrukkingen in
t1, t2, t3, t4, invariant zijn onder elke permutatie
van t1, t2, t3, t4 die men er op toepast.
Verder behoort elke uitdrukking die invariant is onder elke permutatie van t1,
t2, t3, t4, tot het invariantenlichaam K=Q(p,q,r) van de
Galoisgroep van de vergelijking.
Daarom kan zulk een uitdrukking geschreven worden als een rationale functie van de elementaire
symmetrische uitdrukkingen die gelijk zijn aan 0, p, -q en r.
Bijvoorbeeld, (t1t2 + t3t4)(t2t3
+ t1t4)(t1t3 + t2t4) =
q2 - 4pr.
Laat L:=K(t1,t2,t3,t4) het splijtlichaam zijn
van de polynoom.
Stel dat p,q,r zodanig zijn dat de Galoisgroep, die tevens de groep van K-automorphismen van
L is,
samenvalt met de groep S4 van permutaties van t1,t2,
t3,t4.
We zullen, om te beginnen, naar S4 kijken.
Zijn elementen kunnen geschreven worden als producten van cykels. Zo beduidt (123)
de permutatie die t1 afbeeldt op t2, t2 op t3,
t3 op t1, en t4 op zichzelf.
En (12)(34) beeldt t1 af op t2 en vice versa, t3 op
t4 en vice versa.
Merk op dat S4 een mooie keten van ondergroepen heeft: S4 > A4 >
V4 > C2 > {e}.
Hier is A4 de ondergroep van die permutaties die geschreven kunnen worden als het
product van een even aantal cykels van lengte 2, V4 = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} is
de 4-groep van Klein, en C2 = {e,(12)(34)}.
A4 is een normale ondergroep van S4, en S4/A4 is
cyclisch van priemorde 2.
V4 is een normale ondergroep van A4, en A4/V4 is
cyclisch van priemorde 3.
C2 is een normale ondergroep van V4, en V4/C2 is
cyclisch van priemorde 2.
Tot slot, {e} is een normale ondergroep van C2, en C2/{e} is
cyclisch van priemorde 2.
Dus S4 is oplosbaar.
Zij A het invariantenlichaam van A4, V van V4, en Z van C2.
Dan hebben we:
K < A < V < Z < L en S4 > A4 > V4 > C2 > {e}.
Dus C2 is de groep van Z-automorphismen van L, V4/C2 de
groep van V-automorphismen van Z, A4/V4 de groep van A-automorphismen van V,
en S4/A4 de groep van K-automorphismen van A.
Nu gaan wij stap voor stap verder als volgt:
1) Door onze aannamen behoren t1, t2, t3, t4 tot L\Z, maar t1 + t2, t1t2, t3 + t4, t3t4 zijn invariant onder (12)(34), dus onder C2, en behoren daarom tot Z. Zodra we a1:=t1 + t2, a2:= t1t2, a3:=t3 + t4, a4:= t3t4 gevonden hebben, vinden we t1 en t2 als oplossingen van x2 - a1x + a2 = 0, en t3 en t4 als oplossingen van x2 - a3x + a4 = 0, met behulp van vierkantswortels uitgedrukt in de elementen a1, a2, a3, a4 van Z.
2) Evenzo zijn a1 + a3, a1a3, a2 + a4 en a2a4 invariant onder (13)(24), dus onder V4/C2, en behoren dus tot V. Zodra we die gevonden hebben, vinden we a1, a2, a3 en a4 als oplossingen van x2 - (a1+a3)x + a1a3 = 0 en x2 - (a2+a4)x + a2a4 = 0.
3) Laten we nu bijvoorbeeld eens kijken hoe we kunnen vinden a2 + a4 =
t1t2 + t3t4.
Zij t b1 := t1t2 + t3t4,
b2 := t2t3 + t1t4,
b3 := t1t3 + t2t4;
zij c1 := b1 + b2 + b3,
c2 := b1b2 + b1b3 +
b2b3, c3 := b1b2b3.
Dan zijn c1, c2, c3 invariant onder (123)=(12)(23), dus
onder A4/V4, en behoren dus tot A. Daarom kunnen b1, b2,
b3 door kubische - en vierkantswortels worden uitgedrukt in de elementen c1,
c2 en
c3 van A, als zijnde oplossingen van x3 - c1x2 + c2x
- c3 = 0, door de formules van Cardano voor de kubische vergelijking.
4) Gelukkig behoren c1, c2, c3 niet alleen tot A, maar zelfs tot K (dit gebeurt omdat de coëfficiënt van x3 in onze vierdegraads polynoom 0 is en dus niet onbepaald). U kunt nagaan: c1=p, c2=-4r, c3 = q2 - 4pr.
Voorbeeld: regelmatige veelhoeken
Een regelmatige veelhoek met n zijden kan met passer en lineaal geconstrueerd worden als n priem is en n-1 een macht van 2. Dit ziet men als volgt:
In dit geval vinden we dat z:=exp(2*pi*i/n) een nulpunt is van de irreducibele polynoom 1 + x +
x2 + ... + xn-2 + xn-1.
L=Q(z) en G is cyclisch van orde 2m met m=n-1.
Dus er bestaat een keten van groepen {e]=G0 < G1 < ... < Gm=G en
een keten van lichamen Q=K0 < K1 < ... Km=L waar Ki+1
dimensie 2 heeft over Ki.
Omdat vierkantswortels met passer en lineaal geconstrueerd kunnen worden, hebben we het
bewijs gegeven.
(Teken een cirkel met diameter a+1; trek een loodlijn op de diameter, op afstand (a-1)/2 van het
middelpunt; de snijpunten met de cirkel liggen op afstand 2*w2(a) van elkaar.)
bijvoorbeeld, we kunnen z with n=5 construeren als we z+z4 kunnen construeren.
Daar (x - (z+z4))(x - (z2+z3)) = x2 + x + 1, vinden we
z+z4 = (-1+w2(5))/2.
Ik hoop echt dat u niet alles gelooft. Studeer Galoistheorie.
klik hier om naar mijn hoofdpagina te gaan