U weet allemaal dat de wortels van ax² + bx + c (a,b,c complexe getallen), gevonden worden met
x = (-b + w2(b² - 4ac))/(2a) (waar w2(D) elk complex getal voorstelt waarvan het kwadraat D).

Sinds de middeleeuwen hebben Europese wiskundigen gezocht naar soortgelijke oplossingen door wortelvoorstellingen van
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0 (a_k reëel of complex, n>2),
ie uitdrukkingen waarin voorkomen: a_k (k=0,1,..,n-1,n) en worteltekens wm (waar wm(D) elk complex getal voorstelt waarvan de m-de macht D is).

In de zestiende eeuw hebben Italiaanse wiskundigen (Tartaglia, Cardano, Ferrari, del Ferro) algemene wortelvoorstellingen gevonden voor
ax³ + bx² + cx + d = 0, en
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0.
Bijna drie eeuwen later bewees Niels Hendrik Abel dat zo'n algemene oplossing onmogelijk is als n=5.

Kort daarna vond Evariste Galois zijn beroemde theorie uit, en publiceerde die voordat hij stierf in een gevecht, 21 jaar oud.
Hij bewees dat een algemene oplossing door wortelvoorstellingen niet mogelijk is als n>4.
We zullen proberen zicht te krijgen op de hedendaagse vorm van zijn ideeën die de grondslag vormden voor de groepentheorie.

We zullen eerst enkele concepten en ideeën van de Galois-theorie introduceren met een voorbeeld.
Ik moet benadrukken dat deze lezing niet ingaat op enig existentieprobleem.

Voorbeeld: x³ - 2

Zij w3(2) de derdemachtswortel van 2, en eps=(-1+w2(3)*i)/2, dus 1 + eps + eps² = 0.
Zij f(x) = x³ - 2 = (x - w3(2))(x - eps*w3(2))(x - eps²*w3(2)).

Zij K het lichaam voortgebracht door de rationale getallen en de coëfficiënts van  f, dus K = Q.
Zij L het lichaam voortgebracht door K en de wortels van f, dus L = Q(w3(2),eps*w3(2),eps²*w3(2)) = Q(w3(2),eps).
L wordt genoemd het splijtlichaam van  f.
Het is een 6-dimensionale vectorruimte over Q, met basis 1, eps, w3(2), eps*w3(2), w3(4), eps*w3(4).
Verder geldt: de groep G van alle K-automorphismen van L (i.e. die de elementen van K puntsgewijs invariant laten), genaamd Galoisgroep van f, bevat eveneens 6 elementen:

e, die w3(2) afbeeldt op w3(2) en eps op eps,
s, die w3(2) afbeeldt op eps*w3(2) en eps op eps,
s², die w3(2) afbeeldt op eps²w3(2) en eps op eps,
t, die w3(2) afbeeldt op w3(2) en eps op eps²,
t*s = s²*t, die w3(2) afbeeldt op eps²*w3(2) en eps op eps²,
t*s² = s*t, die w3(2) afbeeldt op eps*w3(2) en eps op eps².

Deze groep valt samen met de groep S₃ van permutaties van w3(2), eps*w3(2) en eps²*w3(2), de wortels van f.

Merk op dat {e, s, s²} een normale ondergroep van G is, die Q(eps) puntgewijs invariant laat. Het is de groep van Q(eps)-automorphismen van L.
Q(eps) wordt genoemd het invariantenlichaam van {e, s, s²}.
Verder is G/{e, s, s²} = {e, t} de groep van Q-automorphismen van Q(eps).

Er zijn ook drie ondergroepen van G van orde 2:
i) {e, t}, met invariantenlichaam Q(w3(2));
ii) {e, s²*t}, met invariantenlichaam Q(eps*w3(2));
iii) {e, s*t}, met invariantenlichaam Q(eps²*w3(2)).

De volgende opmerking is zeer belangrijk:
Er bestaat een bijectieve afbeelding van de verzameling ondergroepen van G naar de verzameling deellichamen van L die de inclusie-relatie omkeert. Bijvoorbeeld:
Q < Q(w3(2) < Q(eps,w3(2)) = L,
G > {e,t} > {e}.

Nog een voorbeeld: (x⁵ - 1)/(x - 1)

Zij f(x) = (x⁵ - 1)/(x - 1) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ = (x - c)(x - c²)(x - c³)(x - c⁴),
waarbij c = cos(2*pi/5) + i * sin(2*pi/5), een primitieve vijfdemachts eenheidswortel.
Zij K:=Q en L:=K(c,c²,c³,c⁴) = Q(c).
L is het splijtlichaam van f. Het is een vectorruimte over Q, met basis 1,c,c², c³.
Zij Galoisgroep bevat eveneens 4 elementen:
e, die c afbeeldt op c;
s, die c afbeeldt op c²;
s², die c afbeeldt op c⁴;
s³, die c afbeeldt op c³.
In dit geval is de Galoisgroep G een (cyclische) ondergroep van S₄.
{e,s²} is de enige echte ondergroep van G.
Het is een normale ondergroep die Q(d) puntsgewijs invariant laat, waar d:=c + c⁴ = cos(2*pi/5).
er geldt Q < Q(d) < Q(c) en G > {e,s²} > {e}.
Verder is G/{e,s²} de groep van Q-automorphismen van Q(d).

Meer algemeen geldt:
Zij f(x) een willekeurige polynoom met complexe coëfficiënten, van graad n en zonder meervoudige wortels.
Zij K het lichaam voortgebracht door Q en de coefficiënten van f; zij L het splijtlichaam van f.
Dan bestaat er een groep van K-automorphisms van L, waarvan K het invariantenlichaam is.
Het is een ondergroep van de groep S_n van permutaties van de wortels van f, met evenveel elemenens als een basis van L over K.
Verder bestaat er een bijectieve afbeelding van de verzameling der deellichamen van L die K bevatten op de verzameling der ondergroepen van G, die de inclusie-relatie omkeert en elke ondergroep afbeeldt op zijn invariantenlichaam.

Schets van Galois' bewijs:

Stel nu dat elk nulpunt z van zulk een polynoom uitgedrukt kan worden in zijn coëfficiënten door wortelvormen.
dit betekent dat er bestaat een rij lichaamsuitbreidingen K=K₀ < K₁ < K₂ < ... < K_r=L, waarbij K_i = K_i-1(o_i) voor zekere o_i in K_i\K_i-1, met o_i^p_i behorend tot K_i-1 voor een priemgetal p_i
(zodat o_i = o'_i-1^1/p_i voor zekere o'_i-1 in K_i-1, merk op dat o'₀ rationaal kan worden uitgedrukt in de coëfficiënten van   f).

Dan moet de Galoisgroep G van f(x) oplosbaar zijn:
er is een keten G=G₀ > G₁ > G₂ > ... > G_r={e},
waarbij G_i een normale ondergroep is van G_i-1, en G_i/G_i-1 cyclisch is van priemorde p_i.

Aangezien S_n niet oplosbaar is als n>4, en er voor elke n polynomen van graad n bestaan met Galoisgroep S_n (dit is bijvoorbeeld waar als de nulpunten algebraïsch onafhankelijk zijn over Q), vinden we het beroemde resultaat van Abel en Galois.

Voorbeeld: de algemene veeltermvergelijking van graad 4

We gaan beginnen met het probleem van het door wortelvormen oplossen van x⁴ + p*x² + q*x + r = 0.
Laten t₁, t₂, t₃, t₄ de complexe oplossingen zijn.
Omdat x⁴ + p*x² + q*x + r = (x - t₁)(x - t₂)(x - t₃)(x - t₄), vinden we:
0 = t₁ + t₂ + t₃ + t₄
p = t₁t₂ + t₁t₃ + t₁t₄ + t₂t₃ + t₂t₄ + t₃t₄
-q = t₁t₂t₃ + t₁t₂t₄ + t₁t₃t₄ + t₂t₃t₄
r = t₁t₂t₃t₄

Merk op dat deze uitdrukkingen, genaamd de elementaire symmetrische uitdrukkingen in t₁, t₂, t₃, t₄, invariant zijn onder elke permutatie van t₁, t₂, t₃, t₄ die men er op toepast.
Verder behoort elke uitdrukking die invariant is onder elke permutatie van t₁, t₂, t₃, t₄, tot het invariantenlichaam K=Q(p,q,r) van de Galoisgroep van de vergelijking.
Daarom kan zulk een uitdrukking geschreven worden als een rationale functie van de elementaire symmetrische uitdrukkingen die gelijk zijn aan 0, p, -q en r.
Bijvoorbeeld, (t₁t₂ + t₃t₄)(t₂t₃ + t₁t₄)(t₁t₃ + t₂t₄) = q² - 4pr.

Laat L:=K(t₁,t₂,t₃,t₄) het splijtlichaam zijn van de polynoom.
Stel dat p,q,r zodanig zijn dat de Galoisgroep, die tevens de groep van K-automorphismen van L is, samenvalt met de groep S₄ van permutaties van t₁,t₂, t₃,t₄.

We zullen, om te beginnen, naar S₄ kijken.
Zijn elementen kunnen geschreven worden als producten van cykels. Zo beduidt (123) de permutatie die t₁ afbeeldt op t₂, t₂ op t₃, t₃ op t₁, en t₄ op zichzelf.
En (12)(34) beeldt t₁ af op t₂ en vice versa, t₃ op t₄ en vice versa.

Merk op dat S₄ een mooie keten van ondergroepen heeft: S₄ > A₄ > V₄ > C₂ > {e}.
Hier is A₄ de ondergroep van die permutaties die geschreven kunnen worden als het product van een even aantal cykels van lengte 2, V₄ = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} is de 4-groep van Klein, en C₂ = {e,(12)(34)}.
A₄ is een normale ondergroep van S₄, en S₄/A₄ is cyclisch van priemorde 2.
V₄ is een normale ondergroep van A₄, en A₄/V₄ is cyclisch van priemorde 3.
C₂ is een normale ondergroep van V₄, en V₄/C₂ is cyclisch van priemorde 2.
Tot slot, {e} is een normale ondergroep van C₂, en C₂/{e} is cyclisch van priemorde 2.
Dus S₄ is oplosbaar.

Zij A het invariantenlichaam van A₄, V van V₄, en Z van C₂. Dan hebben we:
K < A < V < Z < L en S₄ > A₄ > V₄ > C₂ > {e}.
Dus C₂ is de groep van Z-automorphismen van L, V₄/C₂ de groep van V-automorphismen van Z, A₄/V₄ de groep van A-automorphismen van V, en S₄/A₄ de groep van K-automorphismen van A.

Nu gaan wij stap voor stap verder als volgt:

1) Door onze aannamen behoren t₁, t₂, t₃, t₄ tot L\Z, maar t₁ + t₂, t₁t₂, t₃ + t₄, t₃t₄ zijn invariant onder (12)(34), dus onder C₂, en behoren daarom tot Z. Zodra we a₁:=t₁ + t₂, a₂:= t₁t₂, a₃:=t₃ + t₄, a₄:= t₃t₄ gevonden hebben, vinden we t₁ en t₂ als oplossingen van x² - a₁x + a₂ = 0, en t₃ en t₄ als oplossingen van x² - a₃x + a₄ = 0, met behulp van vierkantswortels uitgedrukt in de elementen a₁, a₂, a₃, a₄ van Z.

2) Evenzo zijn a₁ + a₃, a₁a₃, a₂ + a₄ en a₂a₄ invariant onder (13)(24), dus onder V₄/C₂, en behoren dus tot V. Zodra we die gevonden hebben, vinden we a₁, a₂, a₃ en a₄ als oplossingen van x² - (a₁+a₃)x + a₁a₃ = 0 en x² - (a₂+a₄)x + a₂a₄ = 0.

3) Laten we nu bijvoorbeeld eens kijken hoe we kunnen vinden a₂ + a₄ = t₁t₂ + t₃t₄.
Zij t b₁ := t₁t₂ + t₃t₄, b₂ := t₂t₃ + t₁t₄, b₃ := t₁t₃ + t₂t₄;
zij c₁ := b₁ + b₂ + b₃, c₂ := b₁b₂ + b₁b₃ + b₂b₃, c₃ := b₁b₂b₃.
Dan zijn c₁, c₂, c₃ invariant onder (123)=(12)(23), dus onder A₄/V₄, en behoren dus tot A. Daarom kunnen b₁, b₂, b₃ door kubische - en vierkantswortels worden uitgedrukt in de elementen c₁, c₂ en c₃ van A, als zijnde oplossingen van x³ - c₁x² + c₂x - c₃ = 0, door de formules van Cardano voor de kubische vergelijking.

4) Gelukkig behoren c₁, c₂, c₃ niet alleen tot A, maar zelfs tot K (dit gebeurt omdat de coëfficiënt van x³ in onze vierdegraads polynoom 0 is en dus niet onbepaald). U kunt nagaan: c₁=p, c₂=-4r, c₃ = q² - 4pr.

Voorbeeld: regelmatige veelhoeken

Een regelmatige veelhoek met n zijden kan met passer en lineaal geconstrueerd worden als n priem is en n-1 een macht van 2. Dit ziet men als volgt:

In dit geval vinden we dat z:=exp(2*pi*i/n) een nulpunt is van de irreducibele polynoom 1 + x + x² + ... + x^n-2 + x^n-1.
L=Q(z) en G is cyclisch van orde 2^m met m=n-1.
Dus er bestaat een keten van groepen {e]=G₀ < G₁ < ... < G_m=G en een keten van lichamen Q=K₀ < K₁ < ... K_m=L waar K_i+1 dimensie 2 heeft over K_i.
Omdat vierkantswortels met passer en lineaal geconstrueerd kunnen worden, hebben we het bewijs gegeven. (Teken een cirkel met diameter a+1; trek een loodlijn op de diameter, op afstand (a-1)/2 van het middelpunt; de snijpunten met de cirkel liggen op afstand 2*w2(a) van elkaar.)
bijvoorbeeld, we kunnen z with n=5 construeren als we z+z⁴ kunnen construeren. Daar (x - (z+z⁴))(x - (z²+z³)) = x² + x + 1, vinden we z+z⁴ = (-1+w2(5))/2.