7. KROMMEN VAN BERTRAND

Definitie 67: Een kromme x(t) die de eigenschap heeft dat zijn hoofdnormalen tevens hoofdnormalen zijn van een tweede kromme y(t) heet kromme van Bertrand. Beide krommen vormen dan een paar krommen van Bertrand.

Stelling 68: De kromme x(t) is precies dan een kromme van Bertrand indien zij voldoet aan een natuurlijke vergelijking van de vorm aτ+bκ=c (a,b,c≠0) of τ=0 (vlakke kromme met oneindig veel partners) of κ=c (dan zijn er oneindig veel partners als τ ook constant is; in het andere geval bestaat y(t) uit de kromtemiddelpunten van x(t)).

Bewijs: Er moet gelden y(s)=x(s)+λ(s)n(s) (s is booglengte van x(s), maar in het algemeen niet van y(s)).
Nu moet y '(s) loodrecht staan op n(s), en tevens moeten y '(s),y''(s) en n(s) in één vlak liggen.
Nu is y ' = x ^. + λ ^. n + λ(-κt+τb). Als y ' loodrecht staat op n, volgt λ ^. =0, dus λ is constant.
Dan is y'' = (-λκ ^.)t + (κ-λκ²-λτ²)n + (λτ ^.)b. Er volgt

, dus τ ^. (1-λκ) = -λκ ^. τ.
Dus τ=0 of κ is constant (en τ is constant of λ = 1/κ) of τ ^. /τ = (λκ ^. )/(λκ-1) (dan τ = d(λκ-1) met d≠0).

Voorbeeld 69: Bij de cirkelschroeflijn (zie 16 en 46) heeft men y(t) = ((a-λ)cos(t), (a-λ)sin(t), bt).

Opgave 70 : Bewijs dat als x(t) en y(t) corresponderende krommen van Bertrand zijn, de hoek tussen corresponderende raaklijnen constant is. Voor welke krommen is deze constante hoek een rechte hoek?

Opgave 71 : Bewijs dat, indien een kromme x(s) een constante kromming κ(s) heeft, de kromme y(s) der kromtemiddelpunten van x(s) ook een constante kromming heeft. In dit geval is x(s) de kromme bestaande uit de kromtemiddelpunten van y(s). Toon ook aan dat het product van de torsies in corresponderende punten constant is.

Opgave 72 : In elk punt P van een kromme K kiest men op de hoofdnormaal een punt Q. Als P de kromme K doorloopt, beschrijft Q de kromme C. Gegeven is dat in elk punt Q het osculatievlak van C samenvalt met het normalenvlak van K in P. Bewijs dat K een constante kromming heeft.

Opgave 73 : Een nodige en voldoende voorwaarde opdat de binormalen van een kromme de hoofdnormalen van een tweede kromme zijn, is dat er een constante λ≠0 bestaat zodanig dat λ²κτ² = -κ + λτ ^.. Bewijs dit.

Opgave 74 : Voor zekere kromme geldt dat zijn binormalen tevens binormalen zijn van een tweede kromme. Bewijs dat de kromme vlak is en dat beide krommen congruent zijn.

Opgave 75 : Van zekere kromme k zijn de rectificerende vlakken evenwijdig aan een vaste rechte l. Geef een voorbeeld van zulk een kromme.
Bewijs dat voor alle n in N_o geldt τ⁽ⁿ⁾κ⁽ⁿ⁺¹⁾=κ⁽ⁿ⁾τ⁽ⁿ⁺¹⁾. Hierbij stelt f^(m) voor de m-de afgeleide van f naar s.

uitwerkingen