CURSUS DIFFERENTIAALMEETKUNDE


18. REGELOPPERVLAKKEN


Definitie 157 : Een regeloppervlak is een oppervlak met parametrisering x(u) + v e(u), waarbij e(u) eenheidsvector is. De v-lijnen heten regels of beschrijvenden.

Definitie 158 : Een raaklijnenoppervlak is een regeloppervlak waarbij e(u) raakvector is aan x(u), dus met parametrisering x(s) + v x .(s) .

Definitie 159 : Een cylinder is een regeloppervlak waarbij alle regels evenwijdig zijn, een kegel is een regeloppervlak waarbij alle regels door één punt (de top) gaan.

Toelichting 160 : Men kan een cylinder opvatten als een bijzonder geval van een kegel, namelijk een kegel met een oneigenlijk punt als top.


Stelling 161 : De singuliere punten van een raaklijnenoppervlak x(s) + v x .(s) zijn de punten op de kromme x(s) (keerkromme).

Bewijs: De raakvectoren x .(s) en x .(s) + v x ..(s) zijn alleen afhankelijk indien v=0 (immers x .(s) staat loodrecht op x ..(s)).

Toelichting 162 : De naam keerkromme stamt hiervandaan dat in elk punt x(so) de snijkromme van het normalenvlak met het raaklijnenoppervlak in benadering een kubische parabool is met keerpunt x(so).
Dit ziet men als volgt in:
Deze snijkromme is z(s) = x(s) + u(s) x .(s) = x(so+h) + u(so+h) x .(so+h), waarbij u zo gekozen is dat de component van z(s) - x(so) op x .(so) gelijk is aan 0.
Bij benadering geldt z(s) = x(so) + h x .(so) + h2 x ..(so)/2 + h3 x ...(so)/6 + u(so+h) (x .(so) + h x ..(so) + h2 x ...(so)/2) = x(so) + t (h + u(so+h) - κ2(h3/6 + h2u(so+h)/2)) + n (κh2/2 + κuh + h3κ ./6 + h2./2) + b (h3κτ/6 + h2uκτ/2).
Door keuze van u is de t-component 0, dus u(so+h) = -h + ...
Dus in eerste benadering zijn de n- en b-coördinaten β = -h2κ/2 en γ = -h3κτ/3.


Stelling 163 : Bij een raaklijnenoppervlak, een cylinder en een kegel is het raakvlak constant langs de regel.

Bewijs: Bij een raaklijnenoppervlak wordt het raakvlak opgespannen door x .(s) en x .(s) + v x ..(s), dus door x .(s) en x ..(s), onafhankelijk van v. Bij vaste s is het raakvlak langs de regel x(s) + v x .(s) dus het osculatievlak in x(s).
Bij een cylinder met richting e wordt het raakvlak opgespannen door x '(u) en e, dus ook weer onafhankelijk van v.
Bij een kegel met top x(u) = x(uo) wordt het raakvlak opgespannen door e en v e '(u), dus ook door e en e '(u), weer onafhankelijk van v.


Stelling 164 : Indien het raakvlak langs elke regel van een regeloppervlak constant is, dan is dat regeloppervlak lokaal een raaklijnenoppervlak, een cylinder of een kegel.

Bewijs: Het raakvlak wordt opgespannen door e(u) en x '(u) + v e '(u); dus indien het onafhankelijk is van v, dan liggen e, x ' en e ' in één vlak.
Verder is e ' loodrecht op e, omdat ||e|| = 1.
Dus de singuliere punten vindt men uit (e ').(x ' + v e ' ) = 0, waaruit volgt v = -((e ').(x ' ))/((e ').(e ' )).
De kandidaat-keerkromme is dan x(u) - e(u)((e ').(x ' ))/((e ').(e ' )).
Nu zijn er drie gevallen, namelijk: x ' = 0; e ' = 0; x ' ,e ' ≠ 0.

Opgave 165: Maak het bewijs van de stelling af door deze drie gevallen nader te beschouwen.


Opmerking 166 : Bekende regeloppervlakken waarbij het raakvlak niet constant is langs de regel zijn de hyperboloïden x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = +1.


EO: Bewijs dat het oppervlak met parametervoorstelling x(u,v) = (2u, 3u2+2uv-v2, 4u3+3u2-2v3-v2+2uv+6u2v) een raaklijnenoppervlak is.


uitwerkingen


HOME