CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE
§ 9: uitwerkingen
O35
i) P oneigenlijk, D eigenlijk.
Trek hulplijn door A evenwijdig aan l'.
ii) P, D, D' oneigenlijk.
Als i), nu slechts te bewijzen AC/BC = A'C'/B'C'.
iii) D oneigenlijk, P eigenlijk.
Limietstand van het algemene geval.
iv) l oneigenlijk.
In dit geval volgt de stelling uit de definitie van de dubbelverhouding van vier punten op de oneigenlijke lijn.
O36
1 2 3 4 λ 2 1 3 4 μ 3 1 2 4 ν 4 1 2 3 ρ
1 2 4 3 μ 2 1 4 3 λ 3 1 4 2 σ 4 1 3 2 τ
1 3 2 4 σ 2 3 1 4 τ 3 2 1 4 ρ 4 2 1 3 ν
1 3 4 2 ν 2 3 4 1 ρ 3 2 4 1 τ 4 2 3 1 σ
1 4 2 3 τ 2 4 1 3 σ 3 4 1 2 λ 4 3 1 2 μ
1 4 3 2 ρ 2 4 3 1 ν 3 4 2 1 μ 4 3 2 1 λ
waarbij μ=1/λ, ν=1/(1-λ), ρ=λ/(λ-1), σ=1-λ, τ=1-1/λ.
O37 Zijn X1, X2, X3, X4 vier punten op een lijn l, en zijn
x1, x2, x3, x4 vier lijnen zó dat xi dezelfde projectieve coördinaten heeft als
Xi, dan gaan x1, x2, x3, x4 door één punt L met
dezelfde projectieve coördinaten als l:
xi is de snijlijn met x3=1 met het vlak αi door O waarvan OXi normaal is; deze vier vlakken gaan door de normaal van
het vlak door O en l.
Is Yi := l.xi , dan is ∠XiOYi = 90 graden. Hieruit volgt dat
(x1, x2; x3, x4) = (Y1, Y2; Y3, Y4) =
(X1, X2; X3, X4).
O38 Beschouw de lijn als een reële getallenrechte, zodat f(x) = E(x-c)/(x-d) met E=(b-d)/(b-c). Teken de grafiek van f.
Bij elk (eigenlijk of oneigenlijk) punt van l bestaat voor elke omgeving V van het beeld van dat punt een omgeving U van het punt zelf zo dat als Y ∈ U dan
f(Y) ∈ V.