Extra opgaven

1. K is een niet-ontaarde kegelsnede door twee punten A en B, en de lijn l snijdt K in twee andere punten C en D. Voor X op l zij S_X het "tweede" snijpunt van AX met K, en T_X het snijpunt van l met de poollijn van BS_X . l.
a) Bewijs dat de toevoeging ψ : X → T_X een projectiviteit is.
b) Stel K heeft vergelijking x₁² + x₂² = x₃² ; A = λ(1,0,1), B = λ(-1,0,1), C = λ(0,1,1), D = λ(0,-1,1). Bewijs dat ψ in dit speciale geval de identiteit is.
c) Maak een schets waaruit blijkt dat ψ niet in alle gevallen de identiteit is.
d) Bewijs dat ψ hyperbolisch is indien zij niet triviaal is.
e) Stel dat van K de punten A, B, E, F, G, niet op l, gegeven zijn, terwijl l in zijn geheel gegeven is. Geef aan hoe men het beeldpunt van AE . l met de lineaal construeert.
f) Geef aan hoe men, met de gegevens van e), C en D met passer en lineaal construeert nadat men de beeldpunten van AE . l, AF . l en AG . l geconstrueerd heeft.
g) Neem de gegevens van b) over, maar nu met B: λ(-(1/2)√2, (1/2)√2, 1) ipv B: λ(-1, 0, 1). Bepaal de projectieve coördinaten van het beeld van AB . l, en stel de matrix tov basis ((0,1,0),(0,0,1)) op van een lineaire transformatie van {x₁=0} die ψ induceert.

2. Gegeven een niet-ontaarde kegelsnede K en twee lijnen l en m waarbij de pool van m niet op l ligt. Aan ieder punt X op l voegt men toe π(X) = x . m, waarbij x de poollijn is van X t.o.v. K.
Bewijs dat π een projectiviteit is van l op m, en dat de pappuslijn van π door de polen L van l en M van m gaat.

3. Gegeven vijf vrijgelegen punten en een lijn door geen van deze vijf punten. Construeer de eventuele snijpunten van de lijn met de kegelsnede door de vijf punten.
(Aanwijzing: beschouw de projectiviteit x . l → φ(x) . l, waarbij φ een lijnenwaaierprojectiviteit is die de kegelsnede genereert.)

4. Van een parabool zijn vier eigenlijke punten en de asrichting gegeven. Construeer de top.

5. Gegeven twee evenwijdige lijnen l en m en vier punten A, B, C, D, waarvan A en B niet op l en C en D niet op m liggen.
Construeer een punt X op l en een punt Y op m zodanig dat AX evenwijdig is met CY en BX evenwijdig met DY.
(Aanwijzing: kies eerst een geschikte projectiviteit van l op zichzelf.)

6. A en B zijn twee punten van een kegelsnede K. De raaklijnen in A en B aan K snijden elkaar in S. Een willekeurige lijn door S snijdt K in C en D. De raaklijnen SA en SB snijden de raaklijn in C aan K in E en F; de rechten DA en DB snijden deze raaklijn in G en H. Tenslotte is L het snijpunt van AB met de genoemde raaklijn.
Laat zien dat L en C de puntenparen {E, F} en {G, H} harmonisch scheiden. Bewijs dat K in D raakt aan de kegelsnede door A, B, D, E en F.

7. In een plat vlak zijn gegeven de punten A, B, P en Q. A en B liggen niet op PQ. Men beschouwt de translatie φ over vector q-p.
Wat is de meetkundige plaats der snijpunten AX . Bφ(X) met X op PQ?

8. Gegeven is de parabool x₂x₃ = x₁². Bereken de projectieve coördinaten van de poollijn van de top, de poollijn van het oneigenlijk punt op de as, en de pool van de as.

9. Van een kegelsnede K zijn vijf punten A, B, C, S, T gegeven. Een kegelsnede K ' gaat door A, B, C, U, V. Construeer zo mogelijk een van A, B en C verschillend snijpunt van K en K ' . Welke gevallen doen zich voor?
(Aanwijzing: beschouw een geschikte lijnenwaaierprojectiviteit φ die K voortbrengt en een geschikte lijnenwaaierprojectiviteit ψ die K ' voortbrengt.)

10. Een veranderlijke kegelsnede K raakt aan vier vaste rechten a, b, c, d. Uit een vast punt A op a trekt men de andere raaklijn α aan K, en uit een vast punt D op d de andere raaklijn δ aan K. Bewijs dat α . δ een vaste rechte doorloopt.
(Aanwijzing: Brianchon.)

11. Door een punt O worden vier lijnen getrokken die een kegelsnede K snijden in A, A₁, resp B, B₁ en C, C₁ en D, D₁. AB en CD snijden elkaar in L, A₁B₁ en C₁D₁ snijden elkaar in M.
Bewijs dat O, L en M collineair zijn.

12. Gegeven de driehoek ABC en de lijn l. Een veranderlijke kegelsnede raakt l en de zijden van de driehoek. De raakpunten op BC, AC en AB zijn respectievelijk A₁, B₁ en C₁. Bewijs:
a) AA₁, BB₁ en CC₁ gaan door één punt P.
b) De reeksen (A₁) en (B₁) zijn perspectief.
c) Het veranderlijke punt P ligt op een vaste kegelsnede door A, B en C.

nadere aanwijzingen