§ 4: Perspectief

Indien we het plaatje van §1 door de ogen van een perspectieftekenaar zien, dan noemen we punt P het oog, vlak α het tafereel, en vlak β het tableau. De lijn s heet dan verdwijnlijn of horizon.
Immers, snijden lijnen in β elkaar aan de horizon, dan zijn hun beeldlijnen in α evenwijdig. Zien we α als een reëel projectief vlak, dan is s het volledig origineel van de oneigenlijke rechte in α.
Men kan in gedachten het vlak β om de snijlijn t draaien totdat β met α samenvalt. Noemt men het beeldpunt van X onder deze draaiing X", dan is X"→X ' een bijectie van het reële projectieve vlak α op zichzelf die de collineariteit bewaart (zie ook O12).
Het neerslaan van een vlak β op een vlak α als boven is van belang voor de meetkunde van het perspectieftekenen, de beschrijvende meetkunde, omdat een object door één perspectieftekening niet bepaald is. Men construeert perspectieftekeningen met meerdere tableaux door t op één papier α.

opmerking: Men noemt de boven gedefinieerde afbeelding X"→X ' een centrale collineatie. Deze afbeelding komt in §16 uitvoerig aan de orde, en hier volgt een eerste kennismaking.
De punten van t zijn invariant en elk lijnenpaar (l",l' ) heeft zijn snijpunt op t. Men noemt t de as van de centrale collineatie.
Verder gaan de lijnen X"X ' allemaal door één punt (het centrum van de centrale collineatie). Zie O13.
De centrale collineatie is bepaald door as t, centrum V, en één paar (P",P ') met P"≠P '. Zie O14.
Om de horizon s" te construeren in het projectievlak α (met een affiene constructie) hoeft men maar één punt op s" te construeren: want s" is evenwijdig aan t. Zie O15.
Tot slot in O16 de punt-voor-punt constructie van een kegelsnede.

opmerking: elke centrale collineatie ontstaat ook als product van twee centrale projecties (van α naar β met centrum P₁ , X"→X , en van β naar α met centrum P₂ , X→X ' ; het centrum is dan het snijpunt V van de lijn P₁P₂ met het vlak α). Bij de nu volgende opgaven hoeft u met deze opmerking geen rekening te houden.

O12 Wat is het beeld van de oneigenlijke rechte bij de afbeelding X"→X ' ? En wat is het volledig origineel van de oneigenlijke rechte?

O13 Bewijs de boven gemaakte bewering dat de lijnen X"X ' door één punt gaan met de stelling van Desargues.

O14 Van een centrale collineatie is as t, centrum V, en één paar (P",P ') met P"≠P ' gegeven. Construeer bij willekeurig gekozen punt Q" het beeldpunt Q'.

O15 Construeer, met dezelfde gegevens als in O14, bij een gegeven oneigenlijk punt Q' het origineel Q". Trek vervolgens s".

O16 Van een centrale collineatie zijn gegeven de horizon s", het centrum V, en één paar (P",P ') met P"≠P '.
P" ligt op een cirkel c", en is natuurlijk collineair met V en P'.
Construeer enkele punten van de kegelsnede c'.
Onderscheid drie gevallen. Construeer in elk van de drie gevallen zoveel punten als nodig is om de soort van de kegelsnede te herkennen.

uitwerkingen