CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 25: Verband tussen punten- en lijnenkegelsneden


Stelling: De raaklijnen aan een puntenkegelsnede vormen een lijnenkegelsnede (en de raakpunten aan een lijnenkegelsnede vormen een puntenkegelsnede).

Bewijs: Laten l, m, n raaklijnen aan een puntenkegelsnede J zijn, met raakpunten L, M, N. Zij X := l.m, Y := m.n, Z := l.n.


De projectiviteit φ : lm met φ(X) = M, φ(L) = X en φ(Z) = Y heeft Pappuslijn p = LM.
Zij nu t een vierde raaklijn, met raakpunt T.
Zij U := l.t, V := m.t, Q := p.TN.
Dan liggen U en Y op de diagonaal door Q en TM.NL van vierhoek TMNL (zie §22).
Dus zijn Y, U, Q collineair, en evenzo V, Q, Z.
Volgens Steiner beeldt φ dan U af op V. Dus is t verbindingslijn van U en φ(U).
Elke raaklijn aan J is dan verbindingslijn van een punt op l en zijn beeldpunt onder φ op m.


Opgaven:

O92 Van een puntenkegelsnede J zijn vijf raaklijnen a, b, c, d, e gegeven. Construeer de pool van een gegeven lijn x.
(Aanwijzing: is a ' de tweede raaklijn uit a. x aan J, dan ligt de pool X van x op de vierde harmonische x ' van {a, a ' } en x. Bewijs dit zelf.)

O93 Laten B en C geconjugeerde punten zijn ten opzichte van een puntenkegelsnede J. Een lijn door C snijdt J in P en Q. Laten BP en BQ nog J snijden in R en S.
Bewijs dat C, R en S collineair zijn.

O94 Bewijs dat een vierhoek ABCD met A, B, C, D op J en de vierzijde abcd der raaklijnen aan J in A, B, C, D, respectievelijk, dezelfde diagonaaldriehoek hebben.


uitwerkingen


HOME