§ 22: Theorie van pool en poollijn

Stel dat k een niet-ontaarde kegelsnede is met homogene vergelijking x^tAx = 0 (A is dus symmetrisch en regulier).
Definieer nu bij deze kegelsnede k een bijectieve afbeelding van de verzameling der punten in P² naar de verzameling der lijnen in P² door

P:λp →^γ γ(P):λAp .

Er geldt: P ∈ γ(Q) ↔ Q ∈ γ(P), want p^tAq = 0 ↔ q^tAp = 0

Breidt men γ dus uit door γ(P) →^γ P, dan hebben we een bijectie van P² naar P² die punten in lijnen overvoert en lijnen in punten, de incidentie bewaart, de dubbelverhouding bewaart (zie O37 en O41), en involutorisch is, dus een polariteit.
Schrijf nu voortaan een punt en zijn beeldlijn met dezelfde letter: X en x.

In projectieve coördinaten wordt de poollijn van P:λp gegeven door p:λAp, dus de vergelijking van de poollijn is p: x^tAp = 0. We vinden de vergelijking van de poollijn dus door 'eerlijk delen'.
Uit de tweede helft van §20 blijkt daarom dat als P op k ligt de poollijn raaklijn is. Uit het hieronder volgende zal blijken dat als P niet op k ligt de poollijn niet door P gaat. Blijkbaar is P dan en slechts dan zelfgeconjugeerd als P op k ligt.

Kan men vanuit P twee raaklijnen aan k trekken, met raakpunten Q₁ en Q₂, dan geldt:
(P ∈ q₁ → Q₁ ∈ p), en (P ∈ q₂ → Q₂ ∈ p), dus p = Q₁Q₂.

Bekijk nu de hieronder volgende schets, en daaronder de bij deze schets horende stelling:

Stelling: Trekt men door een punt P, niet op k, een lijn l die k snijdt in R₁ en R₂, en een lijn m die k snijdt in S₁ en S₂, dan vormen de diagonaalpunten P, Q en U van de volledige vierhoek R₁R₂S₁S₂ een pooldriehoek.

Bewijs: Volgens de laatste stelling van §19 induceert γ op l een involutie X → x.l met dekpunten R₁ en R₂, en evenzo op m een involutie met dekpunten S₁ en S₂.
Volgens de tweede stelling van §14 liggen P en p.l dan harmonisch ten opzichte van R₁ en R₂, en evenzo liggen P en p.m dan harmonisch ten opzichte van S₁ en S₂.
Uit de stelling van §12 volgt dan dat p samenvalt met UQ.
Evenzo bewijst men u = PQ, en dus is q = UP.

Er zijn nu voor het plaatje enkele interessante gevolgen: de raakpunten op de raaklijnen uit P aan k liggen op QU, de raaklijnen in R₁ en S₂ snijden elkaar op q, etcetera.

O83 Construeer de pool van een gegeven lijn l ten opzichte van een gegeven kegelsnede k die met l geen punt gemeen heeft. Het nemen van een snijpunt van een lijn met een kegelsnede is in deze opgave geoorloofd.

uitwerkingen