§ 2: Modellen van een projectieve meetkunde

Definitie: een model van een (vlakke) projectieve meetkunde is een tripel bestaande uit:
een niet-lege verzameling P waarvan de elementen punten worden genoemd;
een niet-lege verzameling L waarvan de elementen lijnen worden genoemd;
een incidentierelatie waartoe elk ongeordend paar van punt en lijn al dan niet behoort;
waarbij voldaan is aan de volgende axioma's:

A1 elke lijn is incident met minstens drie punten;
A2 elk punt is incident met minstens drie lijnen;
A3 bij elk tweetal punten hoort precies één lijn die met beide punten incident is;
A4 bij elk tweetal lijnen hoort precies één punt dat met beide lijnen incident is.

De axioma's A1 en A2 heten elkaars duale; zo ook de axioma's A3 en A4.
Gevolg van het feit dat bij elk axioma een duaal axioma behoort, is: dat bij elke stelling die uit de axioma's wordt afgeleid een duale stelling behoort. Dit is het dualiteitsbeginsel.
Door de rollen van P en L in bovenstaande definitie te verwisselen, verkrijgt men het duale model.

Het belangrijkste model van een projectieve meetkunde is het reële projectieve vlak.
Gegeven de ruimte met daarin een vast punt O.
P is de verzameling der rechten door O, L is de verzameling der vlakken door O.
Het punt p uit de verzameling P heet incident met de lijn l uit de verzameling L indien de rechte die p ook is, gelegen is in het vlak dat l ook is.
Ga na dat aan de axioma's voldaan is.

Beschouw nu ℜ³ met daarin het vlak x₃=1.
Zij P' de verzameling der punten in dat vlak, en L' de verzameling der lijnen in dat vlak, met voor de hand liggende incidentierelatie.
Dit is geen model voor een projectieve meetkunde, omdat aan A4 niet voldaan is. Om dit te ondervangen, beschouwen we de zo genaamde oneigenlijke punten, alsmede de oneigenlijke lijn.

Definitie : Een oneigenlijk punt is een equivalentieklasse van onderling evenwijdige lijnen. De oneigenlijke lijn is de verzameling der oneigenlijke punten.

O5 Zij P" := P'∪{oneigenlijke punten}. Zij L" := L'∪{oneigenlijke lijn}.
Hoe moet men een incidentierelatie definiëren opdat het tripel van P", L" en deze incidentierelatie een model is van een projectieve meetkunde?
Definieer eerst een bijectie A:P→P" en een bijectie B:L→L", en zorg dat p uit P incident is met l uit L precies dan als Ap incident is met Bl (de modellen heten dan isomorf).

O6 Zij B een bol met middelpunt O als boven.
Zij P''' de verzameling der antipodale puntenparen op B, en L''' de verzameling der grote cirkels op B, met voor de hand liggende incidentierelatie.
Laat zien dat dit model isomorf is met het reële projectieve vlak.

O7 Een model van de zevenpuntsmeetkunde:
deze bestaat uit zeven kralen P₁, P₂, ... , P₇ (de punten) en zeven draden L₁, L₂, ... , L₇ (de lijnen), met incidentie als in onderstaand plaatje (willekeurige nummering van punten en lijnen).

Maak een incidentiematrix, en controleer de axioma's. Waarom heet de zevenpuntsmeetkunde zelfduaal?
Bewijs dat elk model van een projectieve meetkunde minstens zeven punten en minstens zeven lijnen bevat.

uitwerkingen