CURSUS PROJECTIEVE MEETKUNDE


§ 18: Correlaties


Definitie : Een correlatie γ van P2 is een bijectie van de verzameling der punten en lijnen van P2 op zichzelf die elk punt op een lijn afbeeldt en elke lijn op een punt, terwijl geldt:
i) X op l ↔ γ(X) door γ(l);
ii) γ bewaart de dubbelverhouding.

Opmerking: Een correlatie induceert projectiviteiten van puntenreeksen naar lijnenwaaiers en van lijnenwaaiers naar puntenreeksen.


Definitie : De natuurlijke correlatie πo is gegeven door:
o(X) = l en πo(l) = X) ↔ (X en l hebben dezelfde projectieve coördinaten).
(Vgl O37.)


Fundamentele stelling (FS) : Gegeven een volledige vierhoek ABCD en een volledige vierzijde pqrs, is er precies één correlatie γ van P2 met γ(A) = p, γ(B) = q, γ(C) = r, γ(D) = s.

Bewijs:

i) uniciteit:
Stel dat γ1 en γ2 voldoen. Dan is γ1-1γ2 een projectieve transformatie met dekpunten A, B, C, D, dus de identiteit. Dus γ1 = γ2.

ii) existentie:
Zij φ de projectieve transformatie gedefinieerd door φ(A) = πo(p), φ(B) = πo(q), φ(C) = πo(r), φ(D) = πo(s).
Dan is γ := πoφ een correlatie als gevraagd.


Opgaven :

O71 Bestudeer de natuurlijke correlatie in het model van O6 nogmaals. Waarom zou men X de pool van π(X) noemen, en π(X) de poollijn van X?

O72 Bewijs dat men elke projectieve transformatie van P2 kan schrijven als het product van twee correlaties.

O73 Bewijs dat een correlatie van P2 de harmonische ligging bewaart zonder eis ii) van de definitie te gebruiken.

O74 Beschouw de volledige vierhoek ABCD en de volledige vierzijde pqrs.
Zij γ de correlatie met γ(A) = p, γ(B) = q, γ(C) = r, γ(D) = s.
Zij G := AB. CD, H := AD. BC, u := γ(G), v := γ(H).
Teken de vierzijde pqrs, en construeer u en v.
Zij l een lijn die AD snijdt in X en AB in Y, waarbij (A, D; X, H) = (A, B; Y, G) = -1.
Construeer γ((l).


uitwerkingen


HOME