§ 17: Indeling der centrale collineaties

Stelling : Een centrale collineatie is volledig bepaald door centrum C, as a, en één paar {X,X ' } van punt en beeldpunt waarbij C, X, X ' collineair zijn en X ≠ X ' .

Bewijs: Men kan nu bij Y in P² het beeldpunt Y ' construeren (zie O14).

Definitie : De centrale collineatie heet een elatie indien het centrum C op de as a ligt, en anders een homologie.
In het tweede geval spreekt men van een harmonische homologie indien een punt X bestaat zo dat X en X ' harmonisch gelegen zijn ten opzichte van C en S_X , waarbij S_X = CX.a .

Zie in verband hiermee ook de volgende stelling en het bewijs ervan.

Stelling : Een harmonische homologie is bepaald door zijn centrum en zijn as.

Bewijs: Zij X een punt als in de definitie hierboven. Zij Y een punt niet op CX en niet op a. Volgens O14 heeft men het volgende plaatje:

Dus zijn ook {Y,Y ' } en {C,S_Y} harmonisch scheidende paren.
Door nu met Y ipv X te redeneren ziet men dat ook de punten op CX met hun beeldpunten harmonisch gelegen zijn tov C en S_X.

Stelling : Een elatie is bepaald door zijn as a en één paar {X,X ' } met X, ≠ X ' .

Bewijs: Dan is het centrum C het snijpunt van a met XX ' (zie het bewijs van de hoofdstelling over collineaties).
Zie nu verder de eerste stelling van deze paragraaf.

Stelling : Zij φ een involutorische projectieve transformatie. Dan is φ een harmonische homologie.

Bewijs: φ is involutorisch, dus als φ(X) = X ' , dan φ(X ' ) = X.
Bekijk nu de volledige vierhoek AA ' BB ' .

De lijnen AA ' en BB ' zijn invariant, dus ook het snijpunt C := AA ' .BB ' .
Omdat φ de lijnen AB en A ' B ' verwisselt, is P := AB. A ' B ' invariant.
Zo is ook invariant Q := A ' B. AB ' . Dus is PQ invariante lijn.
Omdat ook AA ' en BB ' invariant zijn, zijn ook AA ' .PQ en BB ' .PQ invariant.
De lijn PQ bevat dus al minstens vier dekpunten, en is dus puntsgewijs invariant (stellingen van §10).
Dus is φ een homologie met centrum C en as PQ.
Omdat {A,A ' } en {C,S} met S := PQ. AA ' elkaar harmonisch scheiden (zie §12), is φ een harmonische homologie.

Opmerking: φ induceert een hyperbolische involutie op elke lijn door C.

Opmerking: Men kan de stelling ook omdraaien.

Opgave 65: Van een centrale collineatie zijn gegeven: centrum C, as a, lijn x (niet door C) en beeldlijn x ' .
Bewijs dat x. x ' op a ligt.
Zij gegeven een punt Y ongelijk aan C en niet op a. Construeer Y ' .

Opgave 66: Stel de matrix op van de harmonische homologie φ met centrum λ(0,0,1) en as x₃=0.

Opgave 67: Geef een parametervoorstelling voor de matrices van elaties met as λ(1,1,1) en centrum λ(0,1,-1).

Opgave 68: Bewijs dat de volgende matrix bij een centrale collineatie hoort, en bepaal het centrum en de as: λ((7,-99,-33),(2,-22,-6),(-1,9,-1)).

Opgave 69: Beschouw de projectieve transformatie φ met matrix λ((-√2,0,√2),(0,2,0),(√2,0,√2)).
Bewijs dat φ een harmonische homologie is en bepaal de projectieve coördinaten van het centrum en de as.

Opgave 70: Bewijs dat de matrix van een centrale collineatie φ met as x₃ = 0 de volgende gedaante heeft:
λ((α,0,β),(0,α,γ),(0,0,1)) met α≠0.
Bewijs dat φ een elatie is indien α=1 en (β,γ)≠(0,0).
Bepaal in dat geval het centrum van de elatie.

uitwerkingen