Optimistische wiskunde

Dit verhaal gaat over optimisten, dat zijn mensen die het leven altijd van de zonnige kant bekijken. Het optimisme is een gezonde eigenschap voor de mensen die het in zich hebben, hoewel het soms kan leiden tot onbezonnenheid. Als een woord op -isme eindigt, duidt het meestal een of andere overdrijving aan.
Zo ook het 'formalisme'. Rond 1900 zei de befaamde Duitse wiskundige Hilbert dat men de rekenkunde der natuurlijke getallen nu maar eens axiomatisch moest gaan opzetten. Er werd voor de rekenkunde een 'taal' geformuleerd, enkele formules van die taal werden als axioma's (beginstellingen) aangemerkt, en alle andere waarheden van de rekenkunde zouden dan met een vast stel afleidingsregels als stellingen uit de axioma's worden afgeleid.
Maar in 1931 bewees zijn landgenoot Kurt Gödel dat men onmogelijk alle waarheden van de rekenkunde als stelling kon afleiden. Hij construeerde namelijk op ingenieuze wijze een ingewikkelde formule in de taal der rekenkunde die uiteindelijk niets anders betekende dan "deze formule is geen stelling". Als we er van uitgaan dat alle stellingen van de rekenkunde waarheden uitdrukken, dan kan die formule inderdaad geen stelling zijn, maar hij drukt dan wel een waarheid uit. Hierna werd het formalistische project van Hilbert dus stopgezet.

Een verwant project was dat van het 'calculisme'. De calculisten wilden voor alle rijen a van natuurlijke getallen een computerprogramma hebben dat bij input van een natuurlijk getal n binnen een eindig tijdsbestek (bijvoorbeeld binnen een miljoen jaar) de n-de term a(n) van de rij als output zou geven. Dit computerprogramma zou alleen hoeven werken op een ideale computer die geen fysieke beperkingen heeft, bijvoorbeeld wat betreft geheugenruimte. Zo'n computer zou dan in beginsel vervangen kunnen worden door een volk van rekenaars die het rekenen van vader op zoon voortzetten. We zullen nu gaan zien dat ook dit project principieel onuitvoerbaar is.
Noem een rij calculeerbaar precies dan als er zo'n computerprogramma voor geschreven kan worden. De rij en het computerprogramma horen dan bij elkaar. De listing van het computerprogramma is een tekst. Men kan de listings van alle computerprogramma's van de ideale computer alfabetisch ordenen (gebruik de ascii-codenummers). Loop nu met de vinger langs de lijst van alle computerprogramma's, en noem de rij bij het eerste computerprogramma van een calculeerbare rij dat je tegenkomt, a1, de rij bij het tweede computerprogramma van een calculeerbare rij, a2, etcetera tot in het oneindige. Dit kan in gedachten, maar kan het echt (in een project dat van vader op zoon wordt voortgezet)?
Bekijk de rij b met, voor elk natuurlijk getal n, b(n):=an(n)+1. Dus bijvoorbeeld b(5)=a5(5)+1. Deze rij b is niet gelijk aan a5, want b(5) is ongelijk aan a5(5). Evenzo is b voor alle n ongelijk aan an, dus een computerprogramma voor deze rij komt op de oneindig lange alfabetische lijst van calculeerbare computerprogramma's helemaal niet voor. De rij b is dus niet calculeerbaar.
Dit toont meteen aan dat men niet werkelijk bij elk computerprogramma op de lijst binnen eindig tijdsbestek kan beslissen of dat programma bij een calculeerbare rij hoort. Kon men dit wel, dan kon men ook bij elke n effectief an vinden, an(n) berekenen, en b(n) berekenen, en dat alles binnen eindig tijdsbestek.

Kortom, zowel het formalisme als het calculisme zijn voorbeelden van een overdreven en hardnekkig optimisme. Hun projecten zijn net zo onuitvoerbaar als dat middeleeuwse project, genaamd 'kwadratuur van de cirkel'. Daarin wilden meetkundigen met passer en lineaal een vierkant construeren waarvan de oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel met straal 1. Zij hoopten dus met een ideale passer en een ideale lineaal een lijnstuk van lengte wortel(pi) te construeren, beginnend met een lijnstuk van lengte 1. Dat is zelfs in de hemel (waar die ideale gereedschappen beschikbaar zijn) niet mogelijk.


klik hier om terug te gaan naar mijn hoofdpagina