CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK VIJF


De volgende axioma's postuleren het bestaan van een geschikte hoekmaat.

M1 : Er bestaat een functie m die aan elke hoek een getal tussen 0 en 180 toevoegt.
(notatievoorbeeld: m∠A = 30 ('graden'))

M2 : Laat [AB→ een straal zijn op de grens van halfvlak H. Stel r is een getal groter dan 0 en kleiner dan 180. Er bestaat precies één straal [AP→ met P in H zo dat m∠PAB = r.

M3 : Als D binnen ∠BAC ligt, dan m∠BAC = m∠BAD + m∠DAC.

Twee hoeken ∠DAB en ∠DAC vormen een 'lineair paar' als C-A-B.

Twee hoeken ∠A en ∠B heten 'supplementair' als m∠A + m∠B = 180.

M4 : Als twee hoeken een lineair paar vormen, zijn ze supplementair.

Twee hoeken ∠A en ∠B heten 'congruent' als m∠A = m∠B. Notatie: ∠A ≅ ∠B.
Als twee congruente hoeken een lineair paar vormen, heten ze beide 'recht'.

Stelling 5.1 : Een hoek ∠A is dan en slechts dan recht als m∠a = 90.

Bewijs:
1) Stel ∠A is recht. Dan bestaat er een congruente hoek ∠A' die samen met ∠A een lineair paar vormt. Volgens M4 zijn beide hoeken supplementair, dus m∠A + m∠A' = 2m∠A = 180. Dus m∠A = 90.
2) Stel m∠A = 90. Stel ∠A = ∠BAC. Kies Q zo dat Q-A-C. Dan vormen ∠BAC en ∠BAQ een lineair paar. Volgens M4 is dan m∠BAQ = 180 - m∠BAC = 90. Dus geldt ook ∠BAC = ∠BAQ. Dus beide hoeken zijn recht.

Een straal [AD→ ligt 'tussen' stralen [AB→ en [AC→ als D binnen ∠BAC ligt. (Als drie stralen hetzelfde eindpunt hebben, hoeft het niet zo te zijn dat één van de drie tussen de andere twee in ligt.)

OPGAVE 8: Bewijs de volgende (eenvoudige) stellingen.

1) Congruentie van hoeken is een equivalentierelatie.

2) Gegeven ∠ABC en straal [B'C'→ op de grens van halfvlak H. Dan is er precies één straal [B'A'→ met A' in H zo dat ∠ABC ≅ ∠A'B'C'.

3) Als D binnen ∠BAC ligt en D' binnen ∠B'A'C' ligt en ∠BAD ≅ ∠B'A'D' en ∠DAC ≅ ∠D'A'C', dan ∠BAC ≅ ∠B'A'C'

4) Als D binnen ∠BAC ligt en D' binnen ∠B'A'C' ligt en ∠BAC ≅ ∠B'A'C' en ∠BAD ≅ ∠B'A'D', dan ∠DAC ≅ ∠D'A'C'

Twee stralen [AB→ en [AC→ 'staan loodrecht op elkaar' als hun vereniging een rechte hoek is; de lijnen ←AB→ en ←AC→ staan dan ook loodrecht op elkaar, en evenzo bijvoorbeeld lijn ←AB→ en segment [AC]. Notaties ←AB→ ⊥ ←AC→, etc.

Als m∠A kleiner is dan 90, dan heet ∠A 'scherp', als m∠A groter is dan 90, dan heet ∠A 'stomp'.
Twee hoeken ∠A en ∠B heten 'complementair' als m∠A + m∠B = 90.
∠A heet 'kleiner' dan ∠B als m∠A kleiner is dan m∠B.
Twee hoeken ∠BAC en ∠B'A'C' met B-A-B' en C-A-C' heten 'overstaand'.

Stelling 5.2 : Als twee hoeken overstaand zijn, zijn ze congruent.

Ofwel: Als B-A-B' en C-A-C' en ←AB→ ≠ ←AC→, dan ∠BAC ≅ ∠B'A'C'.

Bewijs: ∠BAC en ∠CAB' vormen een lineair paar, dus volgens M4 zijn ze supplementair, dwz m∠BAC + m∠CAB' = 180.
Evenzo is m∠CAB'+ m∠B'A'C' = 180.
Dus m∠BAC = m∠B'A'C'. Dus ∠BAC ≅ ∠B'A'C'.

Men bewijst nu ook eenvoudig dat, als twee snijdende rechten één rechte hoek vormen, zij vier rechte hoeken vormen (doe dit).


De axioma's M1 en M2 postuleren nogal wat.
In feite is het natuurlijk niet mogelijk om voor elk reëel getal r tussen 0 en 180 een hoek van r graden te construeren, ook niet met behulp van een gradenboog.
Dat een onconstreerbare hoek van e graden 'bestaat' (e=2.71828..) is niet iets wat iedere wiskundige zal willen toegeven.

Hier hebben we een geschilpunt tussen 'intuïtionisten' en 'platonisten'.
Een voorbeeld moge het geschil verduidelijken.
Stel dat Arie en Jan in een dronken bui willen trouwen met Miep en Roos: Arie trouwt met Miep en Jan met Roos als er oneindig veel blokken van honderd opeenvolgende nullen in de decimaalontwikkeling van pi voorkomen (geval A), en anders (geval niet A) trouwt Arie met Roos en Jan met Miep. 'Bestaat' nu de afbeelding die aan Arie en Jan hun geïntendeerde huwelijkspartners toevoegt?
Intuïtionisten vinden van niet: de keuze is onbeslisbaar. Anders gezegd: als A een onbeslisbare bewering is, vinden ze dat de bewering 'ofwel A is waar ofwel A is niet waar' geen betekenis heeft.
Platonisten vinden van wel: de procedure is ondubbelzinnig ('A is een feit of niet A is een feit') en 'in de hemel' weten ze wel wie met wie moet trouwen. Sommige platonisten denken bovendien dat aan Arie en Jan vanuit de hemel zou kunnen worden aangeduid of de procedure daar geaccepteerd wordt en aan wie Miep wordt toegevoegd, maar dit doet eigenlijk helemaal niet ter zake.

Zo zal men ook 'in de hemel' elke hoek kunnen construeren.



HOME