CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK VIER


HV (halfvlakkenaxioma)
Gegeven een lijn l in het vlak.
De verzameling der punten die niet op l liggen, is de vereniging van twee 'halfvlakken' H1 en H2 met 'grens' l, waarbij voor elk tweetal punten P en Q (niet op l) geldt dat ze in hetzelfde halfvlak ('aan dezelfde kant van l') liggen dan en slechts dan als het segment [PQ] geen punt met l gemeen heeft.

(analoog: gegeven een punt P op een lijn l; twee punten X en Y van l liggen 'aan dezelfde kant van P' als niet X-P-Y)


Stelling 4.1: Gegeven een lijn l en een straal r die niet op l ligt, maar zijn eindpunt A op l heeft. Dan liggen alle punten van r behalve A aan dezelfde kant van l.

Bewijs: Stel dat P en Q (beide ongelijk aan A) op r liggen, maar aan verschillende kanten van l. Dan is er een punt S van l met P-S-Q. Omdat S dan op r ligt, is S=A. Dus P-A-Q, tegenspraak (A is eindpunt van r).


Hier volgen weer enkele definities.
Gegeven een hoek ∠BAC. De punten die aan dezelfde kant van lijn ←AC→ liggen als B en aan dezelfde kant van lijn ←AB→ als C, liggen 'binnen' ∠BAC. De punten die noch binnen noch op ∠BAC liggen, liggen 'buiten' ∠BAC.

In ΔABC ligt de zijde [BC] 'tegenover' ∠A (=∠BAC), etc.
Een punt ligt 'binnen' de driehoek als het binnen elk der drie hoeken ligt, anders op of 'buiten' de driehoek.


Stelling 4.2: Als een punt op een zijde [BC] van een driehoek ligt, maar geen hoekpunt is, ligt het binnen de hoek tegenover die zijde.

Bewijs: Stel dat X op zijde [BC] van ΔABC ligt, en niet B of C is.
Stel dat X niet aan dezelfde kant van lijn ←AC→ ligt als B. Dan is er S op ←AC→ met B-S-X. Maar S ligt ook op de lijn ←BX→ = ←BC→. Dus S=C. Dus B-C-X, tegenspraak.
Evenzo ligt X aan dezelfde kant van lijn ←AB→ als C.


Stelling 4.3: Gegeven ΔABC. Als A-C-D, B-F-C en A-F-G, dan ligt G binnen ∠BCD.

Bewijs: G ligt aan dezelfde kant van ←CD→ als F, en F aan dezelfde kant van ←CD→ als B, dus G aan dezelfde kant van ←CD→ als B.
G ligt aan de andere kant van ←BC→ als A, en A aan de andere kant van ←BC→ als D, dus G aan dezelfde kant van ←BC→ als D.


Stelling 4.4: Als D binnen ∠BAC ligt, dan ligt elk punt van straal [AD→ behalve A, binnen ∠BAC.

Bewijs: D en B liggen aan dezelfde kant van lijn ←AC→, D en C aan dezelfde kant van lijn ←AB→.
Volgens stelling 4.1 ligt elk punt van straal [AD→ behalve A aan dezelfde kant van lijn ←AC→ als D, dus aan dezelfde kant als B.
Evenzo ligt elk punt van straal [AD→ behalve A aan dezelfde kant van lijn ←AB→ als D, dus aan dezelfde kant als C.


Stelling 4.5: Als D binnen ∠BAC ligt, en G-A-D, dan ligt elk punt van straal [AG→ behalve A aan de andere kant van ←AC→ als B.

Bewijs: Omdat G-A-D liggen D en G aan verschillende kanten van lijn ←AC→. Omdat D binnen ∠BAC ligt, liggen D en B aan dezelfde kant van ←AC→. Dus B en G liggen aan verschillende kanten van ←AC→. Volgens stelling 4.1 liggen alle punten van straal [AG→ behalve A aan dezelfde kant van lijn ←AC→ als G, dus aan de andere kant als B.


Stelling 4.6: Als D binnen ∠BAC ligt, en F-A-C, dan liggen F en B aan dezelfde kant van lijn ←AD→.

Bewijs: We moeten bewijzen dat er geen punt S op de lijn ←AD→ is met B-S-F (in ieder geval is niet B-A-F, ga zelf na).

1) Stel er is S op straal [AD→ met B-S-F (dus S ≠A). Volgens stelling 4.4 ligt S binnen ∠BAC. Dus S ligt aan dezelfde kant van lijn ←AB→ als C. Maar F ligt aan de andere kant van lijn ←AB→ als C, dus volgens stelling 4.1 liggen alle punten van segment [BF] behalve B (waaronder ook S) aan de andere kant van ←AB→ als C. Tegenspraak.

2) Stel dat G op de lijn ←AD→ ligt, aan de andere kant van A als D. Stel er is S (≠A) op straal [AG→ met B-S-F.
Volgens stelling 4.5 liggen B en S aan verschillende kanten van lijn ←AC→, dus is er T op ←AC→ met B-T-S.
Dus B-T-S-F met F en T op ←AC→. Tegenspraak.


Stelling 4.7: (kruisstelling)
Als D binnen ∠BAC ligt, dan snijdt straal [AD→ segment [BC].

Bewijs: De punten van segment [BC] behalve B en C liggen binnen ∠BAC (zie stelling 4.2), dus als lijn ←AD→ segment [BC] snijdt, ligt het snijpunt binnen ∠BAC, dus aan dezelfde kant van ←AC→ als B. Dat snijpunt moet dan op straal [AD→ liggen (zie stelling 4.5).
Stel nu dat lijn ←AD→ segment [BC] niet snijdt. Dan liggen B en C aan dezelfde kant van ←AD→.
Laat F een punt zijn met F-A-C. Volgens stelling 4.6 liggen F en B aan dezelfde kant van ←AD→. Dus liggen F en C aan dezelfde kant van ←AD→. Tegenspraak met F-A-C.


OPGAVE 7: Bewijs dat, als een lijn door een punt binnen een driehoek gaat, deze lijn minstens één van de zijden snijdt. Kan men bewijzen dat zij er twee snijdt?



HOME