CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK DRIE


We definiëren het begrip 'tussen'. Stel dat A,B,C collineaire punten zijn. Als AB+BC=AC dan 'ligt B tussen A en C' (notatie A-B-C).

Stelling B1: als A-B-C dan C-B-A. (bewijs zeer eenvoudig)

Als x,y,z reële getallen zijn, en x,y,z, noteren we x-y-z.

Lemma: Stel l is een lijn, gecoördinatiseerd zo dat A,B,C coördinaten x,y,z (resp) hebben; als x-y-z dan A-B-C.

Bewijs: Stel x-y-z. Dan AB+BC = |y-x|+|z-y| = y-x+z-y = z-x = |z-x| = AC.

Stelling B2: Stel A,B,C zijn drie punten op een lijn l; dan is er precies één van de drie die tussen de andere twee in ligt.

Bewijs:
i) Stel dat A,B,C coördinaten x,y,z (resp) hebben; één van de drie getallen ligt tussen de twee andere in, dus volgens het lemma ligt het bijbehorende punt tussen de andere twee in.
ii) Stel dat bijvoorbeeld A-B-C en B-A-C. Dan AB+BC=AC en BA+AC=BC. Dus AB+BA+AC=AB+BC=AC en 2AB=0. Tegenspraak.

Met A-B-C-D bedoelen we: A-B-C en A-C-D en A-B-D en B-C-D.

Stelling B3: Wanneer vier punten op één lijn liggen, kunnen ze in een volgorde namen A,B,C,D krijgen zo dat A-B-C-D.

Bewijs: stel dat de punten (in een of andere volgorde) coördinaten w,x,y,z hebben in oplopende volgorde van grootte. Laat A het punt met coördinaat w zijn, B het punt met coördinaat x, C het punt met coördinaat y, en D het punt met coördinaat z. Volgens het lemma is A-B-C en A-C-D en A-B-D en B-C-D.

Stelling B4: Als A en B twee punten zijn, dan is er een punt C met A-B-C, en een punt D met A-D-B.

Bewijs: kies op de lijn door A en B coördinaten zo dat A coördinaat 0 heeft, en B coördinaat y>0 (vergelijk opgave 4b)). Neem voor C het punt met coördinaat y+1, en voor D het punt met coördinaat y/2. Volgens het lemma is A-B-C en A-D-B.

Stelling B5: Als A-B-C dan zijn A,B,C drie punten op één lijn.

Dit volgt direct uit de definitie van A-B-C.


Hier volgen nog enkele definities.

Stel dat A en B punten zijn. Het 'segment' [AB] is de verzameling bestaande uit de punten A en B en alle punten tussen A en B (volgens stelling B5 is het segment [AB] een deel van de lijn ←AB→). A en B heten 'eindpunten' van het segment.

De 'straal' [AB→ vanaf A door B is de verzameling der punten C op ←AB→ zó dat A niet tussen B en C ligt. A heet 'eindpunt' van de straal.

Een 'hoek' is de vereniging van twee stralen [AB→ en [AC→ die hetzelfde eindpunt hebben, maar niet op één lijn liggen (notaties ∠BAC, ∠CAB).
[AB→ en [AC→ heten de 'benen' van de hoek, A heet 'hoekpunt'.

Als A,B,C drie nietcollineaire punten zijn, dan heet [AB]∪[BC]∪[CA] een 'driehoek' met 'hoekpunten' A,B,C en 'zijden' [AB],[BC],[CA] (notatie ΔABC).


OPGAVE 5: Bewijs de volgende stellingen met behulp van (In1 t/m In4,) B1 t/m B5 alleen. De laatste twee zijn tamelijk lastig. Bij 2) en 3) stellen verschillende letters verschillende punten voor. Beperk u bij 5) tot een schets van het bewijs.

1) Als A en B twee punten zijn dan [AB]=[BA].
2) Als C tot [AB→ behoort, dan [AB→=[AC→.
3) Als B' tot [AB→ behoort, en C' tot [AC→, dan ∠BAC=∠B'AC'.
4) Als [AB]=[CD] dan {A,B}={C,D}.
5) Als ΔABC=ΔDEF, dan {A,B,C}={D,E,F}.


We willen het begrip 'congruentie' van figuren zo definiëren dat congruente figuren onder translaties en rotaties in elkaar overgaan.
Twee segmenten [AB] en [CD] heten 'congruent'(notatie [AB]≅[CD]) als AB=CD.

Stelling C1: Congruentie van segmenten is een equivalentierelatie.

Bewijs: eenvoudig.

Stelling C2: Gegeven een segment [AB] en een straal [CD→. Er is precies één punt E op [CD→ zo dat [AB]≅[CE].

Bewijs: Kies coördinaten op ←CD→ zo dat C coördinaat 0 heeft en D positieve coördinaat. De punten op de straal [CD→ zijn nu precies de punten op de lijn ←CD→ met niet-negatieve coördinaat (vergelijk het lemma, en de definitie van 'straal'). Er is dus precies één punt E op de straal [CD→ zo dat [CE]≅[AB] namelijk het punt met coördinaat AB.

Stelling C3: ('segmenten optellen')
Als A-B-C en A'-B'-C' en [AB]≅[A'B'] en [BC]≅[B'C'], dan [AC]≅[A'C'].

Bewijs: AC = AB+BC = A'B'+B'C' = A'C'.

Stelling C4: ('segmenten aftrekken')
Als A-B-C en A'-B'-C' en [AB]≅[A'B'] en [AC]≅[A'C'], dan [BC]≅[B'C'].

Bewijs: BC = AC-AB = A'C'-A'B' = B'C'.


Definitie: Als A-B-C en [AB]≅[BC], dan heet B een 'middenpunt' van [AC].

Stelling C5: Elk segment heeft precies één middenpunt.

Bewijs: Stel dat segment [AC] gegeven is. Kies coördinaten op de lijn ←AC→ zo dat A coördinaat 0 heeft en C positieve coördinaat x.
Stel dat B in [AC] ligt en A-B-C. Dan heeft B coördinaat y met y tussen 0 en x (zie het lemma).
Als [AB]≅[BC] dan AB=y-0=BC=x-y, dus y=x/2.
Anderzijds, het punt B met coördinaat x/2 voldoet.


OPGAVE 6:

Waarom kan men in opgave 4a) niet P→xP toevoegen (met a≠0)?
Dan zou in 4b) zelfs zR=1 kunnen worden bereikt (leg uit hoe).
Men kan toch 'met andere meeteenheden' gaan meten? (Of niet?)


HOME