CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK TWEE


In de vierde eeuw voor Christus heeft de Griekse wiskundige Euclides een aantal boeken over meetkunde geschreven die tot in de twintigste eeuw de standaard zijn gebleven.
Hij heeft de meetkunde van het platte vlak deductief opgebouwd, uitgaande van zo weinig mogelijk definities en axioma's (verdeeld in postulaten en algemene noties).
Naar moderne maatstaven was zijn systeem nog niet streng genoeg: er moeten axioma's worden toegevoegd die hij niet heeft geformuleerd maar wel onbewust gehanteerd. Wat bedoelde hij bijvoorbeeld met een punt C 'tussen' A en B op een lijn l? (Als drie punten op een grote cirkel van de aardbol liggen, is er geen aan te wijzen dat tussen de andere twee ligt.)
Hilbert heeft de ontbrekende axioma's eind vorige eeuw toegevoegd.

Het vijfde en laatste postulaat van Euclides luidt (in één van zijn versies) dat door een punt P, niet gelegen op een lijn l, precies één lijn gaat die l niet snijdt ('parallellenpostulaat').
Men heeft tot in de negentiende eeuw gedacht dat dit postulaat uit de andere axioma's en postulaten kon worden afgeleid, en dus eigenlijk overbodig was. We zullen later zien dat dit niet zo is: weer een puntje voor Euclides.

We gaan nu eerst bestuderen wat men zo al kan bewijzen met de algemene noties en postulaten van Euclides en Hilbert (hierna kortweg 'de axioma's' genoemd), zonder het parallellenpostulaat te gebruiken. Deze studie heet 'absolute meetkunde'.
Om het niet te moeilijk te maken, zullen we de reële getallen gebruiken om daarmee de lengte van een lijnstuk of de grootte van een hoek weer te geven. Maar op een gegeven moment zal blijken dat we deze begrippen 'lengte' en 'hoekmaat' niet echt nodig hebben.

We gaan uit van een verzameling X waarvan de elementen 'punten' worden genoemd, een verzameling Y waarvan de elementen 'lijnen' worden genoemd, en een incidentierelatie die vast legt welke punten op welke lijnen liggen.

De begrippen 'punt'en 'lijn' worden tegenwoordig niet nader gedefinieerd. Dit is ook eigenlijk niet goed mogelijk.
Het betekent dat men vrij is, aan deze begrippen een eigen interpretatie te geven, en dat is van belang als wij later niet-euclidische meetkunden gaan leren kennen.
Maar voorlopig zullen we voor punten en lijnen de gewone interpretatie van Euclides gebruiken:

Een punt heeft positie, maar geen uitgebreidheid. .P
Een lijn strekt zich naar beide zijden uit tot in het oneindige. ←→ l
Een 'straal' strekt zich naar één zijde uit tot in het oneindige. P → r
Een 'segment' is aan beide zijden begrensd. P ___ Q

In dit hoofdstuk zullen we de eerste axioma's (van Hilbert) formuleren. Deze gaan over de incidentierelatie.

In1 : een lijn is een verzameling punten.

(Als l een lijn is, en P een punt, en P tot l behoort, zeggen we: 'P ligt op l', 'l gaat door P', 'P en l zijn incident'; punten die op eenzelfde lijn liggen heten 'collineair', lijnen die door eenzelfde punt gaan heten 'concurrent'.)

In2 : gegeven twee punten, dan is er precies één lijn die door beide punten gaat.

(Deze lijn heet 'verbindingslijn' van de twee gegeven punten.)

In3 : iedere lijn bevat tenminste twee punten.

In4 : er zijn minstens drie nietcolleaire punten.

Als we zeggen 'P en Q zijn punten', dan laten we de mogelijkheid open dat P=Q. Maar met 'twee punten' bedoelen we twee verschillende punten. Iets dergelijks geldt ook voor lijnen.

Stelling 2.1 : twee lijnen hebben hoogstens één punt gemeen.

Bewijs: stel dat L1 en L2 lijnen zijn, en dat zij twee punten P en Q gemeen hebben. Volgens In2 is L1=L2.

Als L1 en L2 een punt P gemeen hebben, dan heet P 'snijpunt' van L1 en L2, en zeggen we 'L1 en L2 snijden elkaar in P'.
Men kan niet bewijzen dat twee lijnen elkaar altijd snijden. Als twee lijnen elkaar niet snijden, heten ze 'evenwijdig' ('parallel').


OPGAVE 2: Stel dat vijf punten gegeven zijn. Hoeveel lijnen zijn er dan die door minstens twee van de punten gaan? Onderscheid gevallen.

We gaan nu uit van een 'afstandsfunctie'die aan elk paar van (eventueel samenvallende) punten P en Q een reëel getal PQ toevoegt.
We definiëren een 'coördinatensysteem' op een lijn l als een bijectie P→xP van l naar ℜ zo dat voor alle P en Q op l geldt PQ = |xP-xQ|.

Dis1 ('meetlat-axioma'): elke lijn heeft een coördinatensysteem.

(Dit axioma is niet echt nodig voor de opbouw van de absolute meetkunde.)


OPGAVE 3: Bewijs de volgende stellingen, geldig voor alle punten P, Q:
1) PQ≥0
2) PQ=0↔P=Q
3) PQ=QP

Kan men net zo eenvoudig bewijzen PQ+QR≥PR ('driehoeksongelijkheid')? Dit kan later bewezen worden, uitgaande van Dis1 en andere axioma's.


OPGAVE 4:

a) Stel dat P→xP een coördinatensysteem is op zekere lijn l. Bewijs dat P→-xP en, voor a ∈ℜ, P→xP+a dan ook coördinatensystemen zijn voor dezelfde lijn l.

b) Stel dat Q en R twee punten zijn op een lijn l. Laat zien dat er op l een coördinatensysteem P→zP is waarbij zQ=0 en zR>0.


HOME