CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK TWAALF


In het volgende plaatje is PA.PB = PC.PD.

Immers, de driehoeken PAD en PCB zijn gelijkvormig (hhh) (ga na).
Als C en D samenvallen in Q volgt PA.PB = PQ2.

De 'macht' van een punt P:(xP,yP) tov een cirkel C: (x-a)2+(y-b)2=c2 is het kwadraat van de afstand PQ, waarbij Q op C ligt en de lijn ←PQ→ raakt aan C. Deze macht is niet gedefinieerd als P binnen C ligt, en anders gelijk aan (xP-a)2+(yP-b)2-c2 (ga na).


De 'machtlijn' van twee cirkels C1: (x-a)2+(y-b)2=c2 en C2:(x-d)2+(y-e)2=f2 is de verzameling der punten die gelijke macht hebben tov C1 en C2.
De vergelijking van de machtlijn is (x-a)2+(y-b)2-c2 = (x-d)2+(y-e)2-f2, dus ook: (2a-2d)x + (2b-2f)y = a2+b2-c2-d2-e2+f2.
Deze lijn staat dus loodrecht op de verbindingslijn der middelpunten, de 'centraal'. Hieruit volgt:

Stel dat C1 en C2 cirkels zijn met verschillende middelpunten.
Als C1 en C2 elkaar snijden in A en B is de machtlijn de lijn door A en B (minus de punten tussen A en B).
Als C1 en C2 elkaar raken in D is de machtlijn de gemeenschappelijke raaklijn in D.
Als C1 en C2 elkaar niet snijden is de macht lijn de loodlijn op de centraal vanuit een punt met gelijke macht tov C1 en C2.

OPGAVE 20: Stel dat C1 binnen C2 ligt. Construeer de machtslijn met passer en lineaal. (Hint: beschouw een cirkel die beide cirkels in twee punten snijdt.)


De cirkels gaande door twee punten A en B vormen een 'elliptische bundel'.
De lijn AB is de gemeenschappelijke machtlijn van alle cirkels in de bundel, dus indien men vanuit een punt C van deze machtlijn raaklijnen trekt aan de cirkels van de bundel, dan liggen de raakpunten op een cirkel met middelpunt C die loodrecht staat op deze cirkels.
De cirkels met middelpunt op ←AB→ die loodrecht staan op de cirkels van de elliptische bundel vormen een 'hyperbolische bundel'.


De gemeenschappelijke machtlijn van de cirkels in deze hyperbolische bundel is de middelloodlijn van ←AB→.


Als C een cirkel is met middelpunt M en straal r, en P een punt ongelijk aan M, dan is er precies één punt Q op straal [MP→ zo dat MP.MQ=r2.
P → Q is een bijectie van de verzameling der punten ongelijk aan M naar zichzelf, en beeldt de punten binnen C af op die buiten C en omgekeerd, en laat de punten op C invariant.
Deze afbeelding heet 'inversie' of ook 'spiegeling in C'. P en Q heten elkaars 'spiegelbeeld'.
De constructie van het spiegelbeeld volgt uit het volgende plaatje:

OPGAVE 21: Bewijs dat in bovenstaand plaatje P en Q elkaars spiegelbeeld zijn.

OPGAVE 22: Bewijs dat voor P:(x,y) en zijn spiegelbeeld Q:(ξ,η) tov de cirkel met middelpunt O en straal r geldt: (x,y) = (r2/(ξ22)) (ξ,η).

Als C1 en C2 elkaar loodrecht snijden, is het spiegelbeeld van C1 in C2 gelijk aan C1. Dit ziet men aan het volgende plaatje:


(MP.MQ = r2, zie het begin van dit hoofdstuk.)

OPGAVE 23: Spiegelt men een willekeurige cirkel of lijn met vergelijking p(x2+y2) + ax + by + c = 0 in de cirkel met middelpunt M(0,0) en straal r, dan voldoen origineel en beeld aan het volgende schema:

o: cirkel niet door M --- cirkel wel door M --- rechte niet door M --- rechte wel door M
b: cirkel niet door M --- rechte niet door M --- cirkel wel door M --- rechte wel door M.

Bewijs dit. (Hint: pas opgave 22 toe.)


Stelling : Spiegeling in een cirkel K bewaart hoeken.

Bewijs: Als een lijn t raakt aan een cirkel C, dan raakt het spiegelbeeld van t aan het spiegelbeeld van C (waarom?).
Stel dat twee cirkels C1 en C2 elkaar snijden in P en een hoek φ met elkaar maken. Dan is φ dus de hoek tussen de raaklijnen t1 en t2 te P.
Zij M het middelpunt van K. We gaan bewijzen dat de hoek tussen t en ←MP→ bewaard blijft voor elke lijn t door P.


Het beeld van t is K1 (zie opgave 23; A en B zijn invariant).
De lijn ←MP→ gaat in zichzelf over.
De hoek α tussen t en ←MP→ is gelijk aan de hoek β, en dus gelijk aan de hoek β1 tussen K1 en ←MP→.

Als t K niet snijdt, krijgt men het volgende plaatje:


Ook hier is α = β = β1.


HOME