CURSUS GRONDSLAGEN VAN DE MEETKUNDE


HOOFDSTUK ELF


Toen hij ging sterven, veronderstelde Legendre dat hij bewezen had dat de som van de hoeken in een driehoek ook niet minder dan 180 kan zijn (en dus dat het parallellenaxioma volgt uit de voorgaande axioma's, vgl stellingen 9.11 en 10.3). Dit (foutieve) 'bewijs' gaat in grote lijnen als volgt:

Stel dat de som der hoeken in zekere driehoek ΔABC gelijk is aan 2R-δ, met positief 'hoekdefect' δ (het hoekdefect kan niet negatief zijn, vgl stelling 9.11).
Neem D met A-D-B (zie figuur).

De som der hoeken in ΔACD is α+ε+γ1, de som der hoeken in ΔBDC is β+γ2+2R-ε; dus de som der hoeken in deze beide deeldriehoeken samen is α+β+γ+2R = 4R-δ.
Stel nu dat ΔACD hoekdefect δ1 heeft (eventueel gelijk aan 0), en ΔBDC hoekdefect δ2. Dan is som der hoeken in beide deeldriehoeken samen ook 2R-δ1+2R-δ2. Dus δ12=δ (het hoekdefect is 'additief').

Spiegel nu ΔABC in zijde [AB], en trek door het beeldpunt D van C een lijn parallel aan [AB] (vgl stelling 9.2) die de stralen [CA→ en [CB→ snijdt in E en F.

Dan is het hoekdefect in ΔCEF gelijk aan de som der hoekdefecten in de deeldriehoeken ΔAED, ΔBDF, ΔABD en ΔABC, dus minstens gelijk aan de som 2δ der hoekdefecten van de congruente deeldriehoeken ΔABC en ΔABD.
Spiegelt men ΔEFC in zijde [EF], dan vindt men analoog een driehoek met hoekdefect minstens 4δ.
Zo voortgaande vindt men uiteindelijk een driehoek met hoekdefect groter dan 2R. Dit is onmogelijk. Dus een positief hoekdefect kan niet voorkomen.

OPGAVE 18: Waar zit de fout in bovenstaand 'bewijs' van Legendre? (Denk ook aan het 'pseudovlak' van opgave 15.)


Vroeg in de negentiende eeuw ontdekten Gausz, Bolyai en Lobachevski onafhankelijk van elkaar het bestaan van een niet-euclidische waarin meetkunde. Hieronder verstonden zij een meetkunde die aan alle axioma's van de absolute meetkunde voldoet, maar niet aan het parallellenaxioma. Zij vervingen het parallellenaxioma door het axioma van de 'hyperbolische meetkunde': gegeven een punt P en een lijn l die niet door P gaat, is er meer dan één lijn door P die l niet snijdt.

Later maakten Klein en Poincaré deze meetkunden 'intuiïtief duidelijk': door de begrippen 'punt', 'lijn' en 'afstand' anders te interpreteren maakten zij 'modellen' voor de hyperbolische meetkunde.
Poincaré neemt als 'lijnen' cirkeldelen (een voor de hand liggende gedachte, want als de straal groot is is de cirkel bijna een rechte lijn). We zullen het model van Poincaré nauwkeurig introduceren, en daarna nog een blik werpen op de modellen van Klein voor niet-euclidische meetkunden.

Uit het bestaan van een model voor een hyperbolische meetkunde volgt dat het parallellenaxioma niet uit de axioma's van de absolute meetkunde kan worden afgeleid, 'dus onafhankelijk is van de andere axioma's van Euclides'.
Maar we kunnen geen model voor een hyperbolische meetkunde construeren zonder ons intuïtieve idee van 'punt' of 'lijn' enigszins geweld aan te doen. De hyperbolische meetkunde is door Euclides, Saccheri, Lambert, Legendre e.a. niet 'bedoeld'. Probleem is dat men geen goede definitie van de begrippen 'punt' en 'lijn' kan geven.

Vat men 'lijn' op als 'lichtstraal', dan volgt dat de som van de hoeken in een driehoek ongelijk is aan 180 graden (lichtstralen worden afgebogen, het heelal is gekromd).
Dus de meetkunde van lichtstralen is niet-euclidisch. Dit betekent ook dat de niet-euclidische meetkunde van belang is voor de natuurkunde.

Hier gaan we nog even op door, in verband met de relativiteitstheorie. Laat c de lichtsnelheid zijn (ongeveer 300000 km/sec).
Stel dat een raket met piloot B langs een rechte lijn beweegt met constante snelheid v tov een 'stilstaande' waarnemer A.

Indien twee gebeurtenissen in de raket volgens B gelijktijdig gebeuren op afstand LB van elkaar, dan gebeuren ze volgens A op een afstand LA van elkaar, waarbij geldt:
LB = LA√(1-v2/c2) ('bewegende meetlatten krimpen').

Indien twee gebeurtenissen in de raket volgens B op dezelfde plaats gebeuren met een tussenpoos van tB seconden, dan gebeuren ze volgens A met een tijdsverschil van tA seconden, waarbij geldt:
tB = tA√(1-v2/c2) ('bewegende klokken lopen achter').

Noemt men de lijn waarlangs B beweegt de x-as, dan kan men de oorsprong leggen bij A of bij B ('referentiesysteem volgens A en volgens B, resp.').
Is de x-coördinaat van een punt in de raket volgens B gelijk aan x en volgens A gelijk aan x' , en wijst de klok bij B tijdstip t aan en bij A tijdstip t', dan geldt:

'volgens Galilei':
x' = x - vt; t' = t

'volgens Lorentz':
x' = x/√(1-v2/c2) - vt/√(1-v2/c2); t' = (-v/c2)x/√(1-v2/c2) + t/√(1-v2/c2).

Vergelijk de formules van Lorentz-Einstein met die voor een rotatie:

x' = x cos(α) + y sin(α)
y' = -x sin(α) + y cos(α).

Figuren in het x,y-vlak die onder een rotatie-afbeelding in elkaar overgaan, zijn congruent in de euclidische meetkunde.
Figuren die onder de 'Lorentz-afbeelding' in elkaar overgaan, zijn congruent in de 'Minkowski-meetkunde' (een niet-euclidische meetkunde).
Dit soort dingen wordt natuurlijk nog interessanter als men in plaats van x,t-referentiesystemen x,y,z,t-referentiesystemen bekijkt.

Al vast iets dat verband houdt met de modellen van Cayley-Klein en Riemann.
Men kan 'lijn' interpreteren als 'geodeet' van een kwadratisch oppervlak (geodeten zijn krommen op het oppervlak die de kortste afstand over het oppervlak geven tussen twee punten op het oppervlak).
Neemt men voor dit oppervlak het omwentelingsoppervlak van de 'sleepkromme' (tractrix), dan is de som der hoeken in een 'geodetische driehoek' kleiner dan 180, en krijgt men een hyperbolische meetkunde. Door 'stereografische projectie' ontstaat hieruit een vlak model.
Neemt men voor het oppervlak een bol, dan is de som der hoeken in een geodetische driehoek groter dan 180, en krijgt men een 'elliptische meetkunde'.
Het axioma van de elliptische meetkunde: gegeven een punt P en een lijn l die niet door P gaat, is er geen lijn door P die l niet snijdt.

OPGAVE 19: Bewijs met behulp van stelling 9.11 dat de elliptische meetkunde (in tegenstelling tot de hyperbolische) geen uitbreiding is van de absolute meetkunde.
Hoe ziet een Saccheri-vierhoek er uit in de bolmeetkunde (en welke relatie bestaat er tussen boven- en benedenbasishoeken)? Aan welke axioma's en stellingen die we gehad hebben is voldaan in de elliptische meetkunde? (Bouw voort op opgave 12, licht toe met tekeningen).


HOME