9. SCHROEFLIJNEN

Definitie 81: Een schroeflijn is een kromme (geen rechte) waarvan de raaklijnen een vaste hoek maken met een vaste rechte (de as).

Stelling 82: De schroeflijnen zijn precies de krommen met een natuurlijke vergelijking van de vorm τ/κ = c (c constant) (en de cirkelschroeflijnen zijn precies de krommen waarbij τ en κ beide constant en ongelijk aan 0 zijn).

Bewijs: Stel dat v een eenheidsrichtingsvector van de vaste lijn is.
Uit t.v = c volgt door differentiatie n.v = 0, dus v = t cos(α) + b sin(α) voor vaste α.
Nogmaals differentiëren geeft 0 = (κ cos(α) - τ sin(α)) n, dus τ/κ = c met c = cotg(α).

Zij omgekeerd τ/κ = cotg(α) (α constant).
Dan b ^. = -τ n = (-τ/κ) t ^. = -cotg(α) t ^., dus de eenheidsvector t cos(α) + b sin(α) is constant.
Noemt men deze vector v, dan is v.t = cos(α) = constant.

Stelling 83: Elke schroeflijn is te parametriseren in de vorm (x₁(σ),x₂(σ),σ cotg(α)), waarbij σ de booglengte is van (x₁(σ),x₂(σ), 0), en σ = s sin(α).
Er geldt κ² = κ₁² sin⁴(α), waarbij κ₁ de kromming is van (x₁(σ),x₂(σ), 0).

Bewijs: Kies het coördinatenstelsel zó dat de x₃-as de as van de schroeflijn is.
Er geldt dan (met e₃ = (0,0,1)): t.e₃ = cos(α), α constant. Dus x₃^. = cos(α), dus x₃ = s cos(α).
Het verband tussen s en σ volgt uit: 1 = (dx₁/dσ)² + (dx₂/dσ)² = (x₁^{. 2} + x₂^{. 2})(ds/dσ)² = (1 - x₃^{. 2})(ds/dσ)² = (ds/dσ)² sin²(α), dus σ = s sin(α). We vinden dan de vermelde parametrisering.
Verder is κ₁² = (d²x₁/dσ²)² + (d²x₂/dσ²)² = (x₁^..2 + x₂^..2 + x₃^..2)(ds/dσ)⁴ = κ² sin^-4(α). (We gebruiken hier dat dx₃/dσ en ds/dσ constant zijn, zodat d²x₃/dσ² en d²s/dσ² 0 zijn, en ook dat x₃^.. = 0.)

Voorbeeld 84: We bepalen een parametervoorstelling van de schroeflijn met natuurlijke vergelijkingen κ = τ = (2+s²)^-1.

We vinden tg(α)=1, σ = (1/2)s√2 en κ₁ = 2 κ = (1 + σ²)^-1.
Als in voorbeeld 27 vinden we (x₁(σ), x₂(σ)) = (∫₀^σ cos(arctan(σ ') dσ ', ∫₀^σ sin(arctan(σ ') dσ ') = (∫₀^σ (1 + σ ' ²)^-1/2 dσ ', ∫₀^σ σ ' (1 + σ ' ²)^-1/2 dσ ' ) = (ln(σ + √(1+σ²)), √(1+σ²)),
waaruit de parametervoorstelling (ln(σ + √(1+σ²)), √(1+σ²), σ) = (ln((1/2)s√2 + √(1+(1/2)s²)), √(1+(1/2)s²), (1/2)s√2).

Opgave 85: Bewijs dat x(s) precies dan een schroeflijn is als det(x ^.., x ^..., x ^....) = 0, en κ ≠ 0.

Opgave 86: Bepaal natuurlijke vergelijkingen κ = κ(s) en τ = τ(s) voor een op een bol gelegen schroeflijn.

Opgave 87: Bewijs dat z(t) uit 47 een schroeflijn is, en bepaal haar asrichting.

uitwerkingen