6.DE OSCULERENDE BOL

Indien een kromme x(t) op een oppervlak F(x)=0 ligt, dan geldt voor g(t)=F(x(t)) dat g(t)=0 voor alle t.
Dan geldt ook voor alle t_o dat alle afgeleiden g^(k) 0 zijn in t_o.
Men zegt dan dat de kromme in elk punt een contact van orde ∞ heeft met het oppervlak.

Definitie 52 : Men zegt dat het oppervlak F(x)=0 met de kromme x(t) in x(t_o) een contact van orde m heeft indien voor g(t)=F(x(t)) geldt g^(k)(t_o)=0 voor k=0,1,...,m en g^(m+1)(t_o)≠0.

Toelichting 53 : Contact van orde 0 betekent dat de kromme het oppervlak snijdt in x(t_o), contact van orde 1 dat de kromme het oppervlak raakt in x(t_o) (immers, bij contact van orde 1 is g'(t_o) = (F_x1x₁' + F_x2x₂')|_x(to) = ∇F. x'|_x(to) = 0, terwijl ∇F|_x(to) normaalvector is van het raakvlak in x(t_o).

Opgave 54 : Laat zien dat definitie 52 onafhankelijk is van de keuze van de parameter.

Opgave 55 : Laat zien dat het platte vlak dat in een punt x(t_o) maximaal contact maakt met de kromme x(t) het osculatievlak te x(t_o) is.

Voorbeeld 56 : We zoeken een bol die met de kromme x(s) in x(s_o) een zo groot mogelijk contact heeft.
Laat de vergelijking van deze bol zijn ||x - m||² = r².
Dan is g(s) = (x(s) - m).(x(s) - m) - r².

i) De eis g(s_o)=0 drukt uit dat x(s_o) op de gezochte bol moet liggen.
ii) De eis g'(s_o)=0, ofwel (x(s) - m). x ^.(s) = 0 in s_o, drukt uit dat de verbindingslijn van x(s_o) met het middelpunt loodrecht moet staan op de raakvector in x(s_o) aan de kromme.
iii) De eis g"(s_o)=0 luidt hier x ^.(s). x ^.(s) + (x(s) - m). x ^..(s) =0 in s_o, ofwel (m - x(s)). n(s) = 1/κ(s) in s_o;
deze eis drukt uit dat de projectie van het middelpunt van de osculerende bol op de hoofdnormaal samen moet vallen met het middelpunt van de osculerende cirkel, x(s_o) + n(s_o)/κ(s_o).
Schrijft men m = x(s_o) + αt(s_o) + βn(s_o) + γb(s_o), dan vinden we dus m = x(s_o) + n(s_o)/κ(s_o) + γb(s_o), waarbij γ nog nader bepaald moet worden. Deze lijn van overgebleven kandidaten heet krommingsas.
iv) g⁽³⁾(s_o)=0 geeft (x(s)-m). x ^...(s) =0 in s_o, ofwel (n(s_o)/κ(s_o) + γb(s_o)).(κ ^.(s_o)n(s_o) + κ(s_o)n ^.(s_o)) =0.
Met n ^. = -κt+τb volgt γ = -κ ^./(κ²τ)|s_o.

Definitie 57 : De osculerende bol in het punt x(s_o) aan de kromme x(s) is de bol met middelpunt x(s_o) + n(s_o)/κ(s_o) - κ ^./(κ²τ)|s_ob(s_o) en straal √(κ^-2 + κ ^.2τ^-2κ^-4)|s_o.

Stelling 58 : De krommen die op een bol gelegen zijn, zijn precies de krommen die voldoen aan een natuurlijke vergelijking van de vorm κ^-2 + κ ^.2τ^-2κ^-4 = c (c constant), met dien verstande dat krommen met constante κ niet op een bol hoeven te liggen.
(Geef een voorbeeld van een kromme met constante kromming die op een bol ligt, en twee voorbeelden van krommen met constante kromming die niet op een bol liggen.)

Bewijs : Als een kromme op een bol gelegen is, dan valt in elk punt de osculerende bol samen met de bol waar de kromme op ligt, zodat κ^-2 + κ ^.2τ^-2κ^-4 constant gelijk is aan het kwadraat van de straal van die bol.
Omgekeerd volgt uit κ^-2 + κ ^.2τ^-2κ^-4 = c dat het middelpunt van de osculerende bol een vast punt is (zie opgave 59), zodat ook de afstand van elk punt op de kromme tot dit vaste punt gelijk is aan √c.

Opgave 59 : Bewijs door differentiatie van het middelpunt van de osculerende bol dat dit een vast punt is als κ^-2 + κ ^.2τ^-2κ^-4 = c en κ niet constant.

Opgave 60 : Bepaal de kromming als functie van de booglengte voor een vlakke kromme die de eigenschap heeft dat de middens M van de segmenten PK, waarbij P op de kromme ligt en K het kromtemiddelpunt is bij P, op eenzelfde rechte liggen.
(Aanwijzing: reken met R als afkortende schrijfwijze voor κ^-1; er blijkt een cycloïde uit te komen.)

Opgave 61 : Stel dat φ een differentieerbare functie van t is. Bewijs dat de kromme x(t) = (t cos(φ(t)), t sin(φ(t)), √(1-t²)), t ∈ (0,1), op een bol gelegen is.
Aan welke differentiaalvergelijking moet φ voldoen opdat de kromme in elk punt een hoek van 90 graden maakt met de x₁-as?

Opgave 62 : Bewijs de volgende beweringen:
a) Als de osculatievlakken van een kromme door een vast punt gaan, is de kromme vlak.
b) Als de osculatievlakkken van een kromme evenwijdig zijn met een gegeven rechte, is de kromme vlak.

Opgave 63 : Bewijs dat een kromme waarvan alle kromtemiddelpunten op eenzelfde rechte liggen, noodzakelijk een cirkel is.

Opgave 64 : In elk punt van een kromme C bestaat een normaal die door het vaste punt A gaat. Bewijs dat C op een bol ligt waarvan A middelpunt is.

Opgave 65 : De lijn die een vast punt van de ruimte verbindt met een punt P dat een gegeven ruimtekromme doorloopt, staat voortdurend loodrecht op die kromme en maakt een vaste hoek met de hoofdnormaal in P. Bewijs dat die ruimtekromme een cirkel is.

Opgave 66 : V(s) zij het rectificerend vlak (loodrecht op de hoofdnormaal) in het punt P(s) van een ruimtekromme, waarvan de parameter s de booglengte is.
De kromming in P(s) zij κ(s) (groter dan 0). De afstanden van een vast punt M tot P(s) en V(s) heten opvolgend r(s) en a(s).
Bewijs: 2 a κ = |(d²/ds²)(r²-s²)|.

uitwerkingen